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数学奥林匹克高中训练题_
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
5 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、解答题（共1题，共5分）
1、 计算机屏幕上显示了一个98×98的棋盘，将棋盘用通常方法染色(即两种颜色相间地染)。一个人能够拖动鼠标选择一个边框为棋盘线的矩形，然后点击鼠标，这个框内所有的颜色变色(即白变黑、黑变白)。问至少要点击多少次鼠标才能将整个棋盘变成同一种颜色?证明你的结论。 |
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数学奥林匹克高中训练题_
1、
计算机屏幕上显示了一个98×98的棋盘，将棋盘用通常方法染色(即两种颜色相间地染)。一个人能够拖动鼠标选择一个边框为棋盘线的矩形，然后点击鼠标，这个框内所有的颜色变色(即白变黑、黑变白)。问至少要点击多少次鼠标才能将整个棋盘变成同一种颜色?证明你的结论。
98
我们证明对n×n的棋盘，如果n为奇数，则至少需要点击n-1次鼠标，才能将整个棋盘变成同一种颜色；如果n为偶数，则至少需要点击n次鼠标，才能将整个棋盘变成同一种颜色.
考虑沿着边框线的4(n-1)个小方格，由于它们黑白相间，故一共有4( n-1)对由相邻异色小方格组成的异色小方格对.而每一次点击至多减少4对这样的异色小方格对，故至少要点击n-1次鼠标，才能将整个棋盘变成同一种颜色.
(1) n为奇数.
i 若n=1，则棋盘只有一种颜色，无需点击鼠标；
ii 若n=2k+1(k为正整数)，则可先点击第2,4,...，2k行，再点击第2,4,...，2k列(每次点击可减少4对异色小方格对)，共点击n-1次鼠标即可将整个棋盘变成同一种颜色.
(2) n为偶数.
设n=2k(k为正整数)，由于这个棋盘的四个顶点不同色，故必有矩形包含这些顶点.而点击这些矩形一次至多可以减少2对异色小方格对，所以，至少需要点击n次鼠标，才能将整个棋盘变成同一种颜色----可先点击第2,4,...，2k行，再点击第2，4,...,2k列，第k次和第2k次点击鼠标每次可减少2对异色小方格对，其余各次点击鼠标每次可减少4对异色小方格对，共点击n次.
因此，至少要点击98次鼠标，才能将一个98×98的棋盘变成同一种颜色.