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全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
95 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共8题，共40分）
1、 设集合 A. 对任意实数a， B. 对任意实数a，（2,1） C. 当且仅当a<0时,（2,1） D. 当且仅当 2、 在平面直角坐标系中，
A. C. 3、 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4、 “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 A. C. 5、 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6、 执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. C. 7、 在复平面内，复数 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8、 已知集合A={(????||????|<2)},B={−2,0,1,2},则 A. {0,1} B. {−1,0,1} C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2}
二、填空题（共5题，共25分）
9、 若 10、 若????,y满足 11、 若双曲线 12、 能说明“若a﹥b，则 13、 已知直线l过点（1,0）且垂直于????轴，若l被抛物线
三、解答题（共6题，共30分）
14、 已知椭圆 （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若 （Ⅲ）设 15、 设函数 （Ⅰ）若曲线 （Ⅱ）若 16、 （本小题14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD. 17、 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 18、 已知函数 （Ⅰ）求 （Ⅱ）若 19、 设 （Ⅰ）求 （Ⅱ）求 |
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全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）
1、
设集合
则
A. 对任意实数a，
B. 对任意实数a，（2,1）
C. 当且仅当a<0时,（2,1）
D. 当且仅当
时,（2,1）
D
分析：求出
及
所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.
详解：若，则
且
，即若，则，
此命题的逆否命题为：若
，则有，故选D.
2、
在平面直角坐标系中，
是圆
上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角
以O????为始边，OP为终边，若
，则P所在的圆弧是
A. 
B. 
C. 
D. 
C
分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段
为余弦线，有向线段
为正弦线，有向线段
为正切线.
A选项：当点
在
上时，
，
，故A选项错误；
B选项：当点
在
上时，
，
，
，故B选项错误；
C选项：当点
在
上时，
，
，
，故C选项正确；
D选项：点
在
上且
在第三象限，
，故D选项错误.
综上，故选C.
3、
某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
C
分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.
详解：由三视图可得四棱锥
，
在四棱锥中，
，
由勾股定理可知：
，
则在四棱锥中，直角三角形有：
共三个，
故选C.
4、
“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. 
B. 
C. 
D. 
D
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为
，
所以
，
又
，则
故选D.
5、
设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
分析：证明“
”
“
成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”
“”可利用等比数列的性质.
详解：当
时，不成等比数列，所以不是充分条件；
当成等比数列时，则，所以是必要条件.
综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件
故选B.
6、
执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. 
B. 
C. 
D. 
B
分析：初始化数值
，执行循环结构，判断条件是否成立，
详解：初始化数值
循环结果执行如下：
第一次：
不成立；
第二次：
成立，
循环结束，输出
，
故选B.
7、
在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.
详解：
的共轭复数为
对应点为
，在第四象限，故选D.
8、
已知集合A={(????||????|<2)},B={−2,0,1,2},则
A. {0,1} B. {−1,0,1}
C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2}
A
分析：将集合
化成最简形式，再进行求交集运算.
详解：
故选A.
9、
若
的面积为
,且∠C为钝角，则∠B=_________；
的取值范围是_________.
分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得
，可求得
；再利用
，将问题转化为求函数
的取值范围问题.
详解：
，
，即
，
，
则
为钝角，
，
故
.
10、
若????,y满足
，则2y−????的最小值是_________.
3
分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数
的几何意义，可知当
时取得最小值.
详解：不等式可转化为
，即
满足条件的
在平面直角坐标系中的可行域如下图
令
，
由图象可知，当
过点
时，
取最小值，此时
，
的最小值为
.
11、
若双曲线
的离心率为
，则a=_________.
4
分析：根据离心率公式
，及双曲线中
的关系可联立方程组，进而求解参数
的值.
详解：在双曲线中，
，且
12、
能说明“若a﹥b，则
”为假命题的一组a，b的值依次为_________.
（答案不唯一）
分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若
，则
”成立的
，根据不等式的性质，去特值即可.
详解：使“若，则
”为假命题
则使“若，则”为真命题即可，
只需取
即可满足
所以满足条件的一组的值为
（答案不唯一）
13、
已知直线l过点（1,0）且垂直于????轴，若l被抛物线
截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点
，将点坐标代入可求参数
的值，进而可求焦点坐标.
详细：由题意可得，点
在抛物线上，将代入
中，
解得：
，
，
由抛物线方程可得：
，
焦点坐标为.
14、
已知椭圆
的离心率为
，焦距为
.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若
，求
的最大值；
（Ⅲ）设
，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点
共线，求k.
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
分析：（1）根据题干可得
的方程组，求解
的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为
，联立，消
整理得
，利用根与系数关系及弦长公式表示出
，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合
三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率
.
详解：
（Ⅰ）由题意得
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为
．
（Ⅱ）设直线
的方程为
，
由
消去
可得
，
则
，即
，
设
，
，则
，
，
则
，
易得当
时，
，故
的最大值为
．
（Ⅲ）设
，
，
，
，
则
①，
②，
又
，所以可设
，直线
的方程为
，
由
消去
可得
，
则
，即
，
又
，代入①式可得
，所以
，
所以
，同理可得
．
故
，
，
因为
三点共线，所以
，
将点
的坐标代入化简可得
，即
．
15、
设函数
.
（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若
在
处取得极小值，求a的取值范围.
（Ⅰ）
（Ⅱ）
，构建等量关系
，解方程可得参数
的值；（2）对分
及
两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得
取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.详解：
解：（Ⅰ）因为
，
所以
.
，
由题设知
，即
，解得
.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得
.
若a>1，则当
时，
；
当
时，
.
所以在x=1处取得极小值.
若，则当
时，
，
所以.
所以1不是的极小值点.
综上可知，a的取值范围是.
方法二：
.
（1）当a=0时，令
得x=1.
随x的变化情况如下表：
x |
| 1 |
|
| + | 0 | − |
| ↗ | 极大值 | ↘ |
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令得
.
①当
，即a=1时，
，
∴在
上单调递增，
∴无极值，不合题意.
②当
，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：
x |
| 1 |
|
|
|
| + | 0 | − | 0 | + |
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
③当
，即a>1时，随x的变化情况如下表：
x |
|
|
|
|
|
| + | 0 | − | 0 | + |
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令得.
随x的变化情况如下表：
x |
|
|
|
|
|
| − | 0 | + | 0 | − |
| ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为.
16、
（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）见解析
分析：（1）欲证
，只需证明
即可；（2）先证
平面
，再证平面PAB⊥平面PCD；（3）取
中点
，连接
，证明
，则
平面
.
详解：
（Ⅰ）∵
，且
为
的中点，∴.
∵底面
为矩形，∴
，
∴.
（Ⅱ）∵底面为矩形，∴
.
∵平面
平面，∴
平面
.
∴
.又
,
∵平面，∴平面
平面.
（Ⅲ）如图，取中点，连接
.
∵
分别为
和的中点，∴
，且
.
∵四边形为矩形，且为的中点，
∴
，
∴
，且
，∴四边形
为平行四边形，
∴
.
又
平面，
平面，
∴
平面.
17、
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 | 第六类 |
电影部数 | 140 | 50 | 300 | 200 | 800 | 510 |
好评率 | 0.4 | 0.2 | 0.15 | 0.25 | 0.2 | 0.1 |
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.
分析：（1）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（2）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（3）根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..
详解：
（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，
故所求概率为
.
（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.
由古典概型概率公式得
.
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.
18、
已知函数
.
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间
上的最大值为
，求
的最小值.
（Ⅰ）
（Ⅱ）
分析：（1）将
化简整理成
的形式，利用公式
可求最小正周期；（2）根据
，可求
的范围，结合函数图像的性质，可得参数
的取值范围.
详解：
（Ⅰ）
，
所以的最小正周期为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.
因为
，所以
.
要使得在
上的最大值为
，即
在上的最大值为1.
所以
，即
.
所以的最小值为.
19、
设
是等差数列，且
.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求
.
（I）
（II）
分析：（1）设公差为
，根据题意可列关于
的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得
，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
详解：（I）设等差数列
的公差为，
∵
，
∴
，
又
，∴
.
∴
.
（II）由（I）知
，
∵
，
∴
是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴
.
∴