27

分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.

详解：设，则

由得

所以只需研究是否有满足条件的解，

此时，，为等差数列项数，且.

由

得满足条件的最小值为.

9

分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

3

分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.

详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，

由得或，

因为，所以

–3

分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.

详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，

分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.

详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为

分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.

详解：由得函数的周期为4，所以因此

2

分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.

详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此

分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.

详解：由题意可得，所以，因为，所以

分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.

详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为

[2，+∞）

分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.

8

分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出

90

分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.

详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，故平均数为.

2

分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.

详解：因为，则，则的实部为.

{1，8}

分析：根据交集定义求结果.

详解：由题设和交集的定义可知：.

（1）2  5

（2）n≥5时，

分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为2的个数；（2）先寻求含n个元素的集合中逆序数为2与含n+1个元素的集合中逆序数为2的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果.

详解：解：（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

，

所以．

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．

为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

当n≥5时，

，

因此，n≥5时， ．

4

分析：根据柯西不等式可得结果.

详解：证明：由柯西不等式，得．

因为，所以，

当且仅当时，不等式取等号，此时，

所以的最小值为4．

直线l被曲线C截得的弦长为

分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.

详解：因为曲线C的极坐标方程为，

所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为，

则直线l过A（4，0），倾斜角为，

所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB=．

连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，

所以．

因此，直线l被曲线C截得的弦长为．

（1）

（2）点P的坐标为(3，–1)

分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P点坐标.

详解：（1）因为，，所以A可逆，

从而 ．

（2）设P(x，y)，则，所以，

因此，点P的坐标为(3，–1)．

2

分析：先连圆心与切点得直角三角形，求出PO，即得B为中点，再根据直角三角形斜边上中线长等于斜边一半的性质得结果.

详解：证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．

又因为PC=，OC=2，

所以OP==4．

又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．

（1）d的取值范围为．

（2）d的取值范围为，证明见解析。

分析：（1）根据题意结合并分别令n=1，2，3，4列出不等式组，即可解得公差d的取值范围；（2）先根据绝对值定义将不等式转化为，根据条件易得左边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d的取值范围.

详解：解：（1）由条件知：．

因为对n=1，2，3，4均成立，

即对n=1，2，3，4均成立，

即11，1d3，32d5，73d9，得．

因此，d的取值范围为．

（2）由条件知：．

若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，

即，

即当时，d满足．

因为，则，

从而，，对均成立．

因此，取d=0时，对均成立．

下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．

①当时，，

当时，有，从而．

因此，当时，数列单调递增，

故数列的最大值为．

②设，当x>0时，，

所以单调递减，从而<f（0）=1．

当时，，

因此，当时，数列单调递减，

故数列的最小值为．

因此，d的取值范围为．

（1）证明见解析

（2）a的值为

（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．

分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合 “S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.

详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．

由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得

，此方程组无解，

因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．

（2）函数，，

则．

设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得

，即，（*）

得，即，则．

当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．

因此，a的值为．

（3）对任意a>0，设．

因为，且h（x）的图象是不间断的，

所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．

函数，

则．

由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得

，即（**）

此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．

因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．

（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为

（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为

分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.

详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，

可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，

所以，解得

因此，椭圆C的方程为．

因为圆O的直径为，所以其方程为．

（2）①设直线l与圆O相切于，则，

所以直线l的方程为，即．

由，消去y，得

．（*）

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

所以．

因为，所以．

因此，点P的坐标为．

②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．

设，

由（*）得，

所以

．

因为，

所以，即，

解得舍去），则，因此P的坐标为．

综上，直线l的方程为．

（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为

1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．

（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大

分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.

详解：

解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．

过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．

过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．

令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．

当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值范围是[，1）．

答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为

1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．

（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），

则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．

设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），

则．

令，得θ=，

当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；

当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，

因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．

答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

（1）

（2）

分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.

详解：解：（1）因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

（2）因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

答案见解析

分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.

详解：

证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．

因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，

所以AB∥平面A1B1C．

（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．

又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，

因此AB1⊥A1B．

又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，

所以AB1⊥BC．

又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC．

因为AB1平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．