D

由题意可知每位“学习能手”最多做错1道题，5位“学习能手”则最多做错5道题.而至少有3个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多1道.故选D.

A

函数 ，

可得，

令，

函数y=f（t）+a（a∈R）恰有三个零点，转化为f（t）与函数y=﹣a有三个交点问题．

根据三角函数图象的性质可得：（t1+t2）=，≤t3＜．

∴（t1+t2）=π，即x1+x2=

那么，

可得：

则x1+x2+x3的取值范围是．故选A．

    ①③④

半径为1的圆的内接正n边形的边长为2sin，

边心距为cos，

则正n边形的面积为f（n）=n••2sin•cos=sin，

可得f（3）=sin=；

考虑函数f（x）=sin，x＞2，且x∈N，

可得导数f′（x）=sin﹣cos，

当x=3，4时，f′（x）＞0成立；

当x＞4，且x∈N，0＜＜，

有0＜sin＜1，0＜cos＜1，

且sin＜＜tan，

可得sin＞cos，

可得f′（x）＞0，

则f（x）在x＞2，且x∈N，为增函数，

则f（n）＜f（n+1）；

由于f（n）为增函数，且sin＜，0＜＜，

可得f（n）＜•=π，

即f（n）取不到π；

又f（n）﹣f（2n）=sin﹣nsin=nsincos﹣nsin

=nsin（cos﹣1）＜0，即f（n）＜f（2n）；

由f（2n）﹣2f（n）=nsin﹣2•sin=nsin（1﹣2cos），

由于n≥3，可得≤cos＜1，

可得f（2n）﹣2f（n）≤0，

即f（2n）≤2f（n）．

综上可得，正确结论序号为①③④．

故填；①③④．

①若a=0，则，

由f（x）=0，可得x=0，x=﹣，符合题意；

若a＜0，x=0符合题意；

若x=﹣符合题意，则a＞﹣，即为﹣＜a＜0；

若a＞0，则x=0和x=﹣符合题意，可得a≤，

综上可得，a的范围是（﹣，]；

②若x＜a≤﹣2，则x﹣1＜a﹣1≤﹣3，

f（x）的导数为3x2﹣3＞0，

可得f（x）＜f（﹣2）=﹣2，f（x﹣1）＜﹣27+9=﹣18，

即有f（x）+f（x﹣1）＜﹣30，不符题意；

则x≥a，若x﹣1≥a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，

即为x+x﹣1＞﹣3，解得x＞﹣1；

若a﹣1≤x﹣1＜a，f（x）+f（x﹣1）＞﹣3，

即为x+（x﹣1）3﹣3（x﹣1）＞﹣3，

化为x3﹣3x2+x+5＞0，

由于a≤﹣2，且a≤x＜a+1，

可得g（x）=x3﹣3x2+x+5的导数g′（x）=3x2﹣6x+1＞0，

即g（x）在[a，a+1）递增，g（a）取得最小值，且为a3﹣3a2+a+5，

且a3﹣3a2+a+5，

而在a≤﹣2时，a3﹣3a2+a+5递增，且为负值，不符题意．

综上可得a的范围是（﹣1，+∞）．

故填，（﹣1，+∞）．

（1）当x＞0时，，

令，当 ，即x=1时取等号，

即当x=1时，f1（x）min=2，

令，

又因为

则

（2）f（x）图象仅有两对点关于y轴对称，

即f（x）（x＜0）的图象关于y轴对称的函数图象与f（x）（x＞0）仅有两个交点，

当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a．

设其关于y轴对称的函数为g（x），

∴g（x）=f（﹣x）=（x﹣1）2+a（x＞0）

∵(x>0)

由（1）可知近似图象如图所示：

当g（x）与f（x）仅有两个交点时，，

综上，a的取值范围是（﹣1，），

故填，（﹣1，）．

如图在面A1ABB1建立P面直角坐标系，设P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）

∵点P到直线AA1和CD的距离相等，，即x2=y2+1．

∴A1P=

∴当P（，1）时，A1P最小为.故填.