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北京市顺义区高三第二次统练（二模）数学理试卷
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
95 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共8题，共40分）
1、 已知点 ① 其中，“正三角形”曲线的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2、 已知 A. 3、 若 A. 4、 已知直线 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5、 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A. 6、 执行如图所示的程序框图，输出的
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7、 若 A. 1 B. 3 C. 4 D. 8、 设集合 A.
二、填空题（共5题，共25分）
9、 在平面直角坐标系 10、 曲线 11、 设双曲线 12、 已知 13、 若
三、解答题（共6题，共30分）
14、 已知数列 （Ⅰ）写出数列 （Ⅱ）若 （Ⅲ）若 15、 已知椭圆 （Ⅰ）求实数 （Ⅱ）设过点 16、 已知函数 （Ⅰ）当 （Ⅱ）若不等式 17、 如图，在正三棱柱 （Ⅰ）求证： （Ⅱ）求 （Ⅲ）试问线段
18、 2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：
（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数 （Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； （Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为 19、 在 （Ⅰ）求 |
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北京市顺义区高三第二次统练（二模）数学理试卷
1、
已知点
．若曲线
上存在两点
，使
为正三角形，则称
为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：
①
；②
；③
．
其中，“正三角形”曲线的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
①因为点
不在直线
上，直线与坐标轴的交点坐标为
，此时
．因为
所以存在两点
，使
为正三角形，所以①是“正三角形”型曲线．
②得
，图形是第三象限内的四分之一圆弧，曲线线与坐
标轴的交点坐标为
，此时弧长
，最长的弦长为
如图可知三角形AMN不可能是正三角形，所以②不是“正三角形”型曲线．
③利用数形结合思想，以
为圆心，做一个顶角是
，由图象可知当圆与曲线相交时，则存在
，使使为正三角形，所以③为“正三角形”型曲线．
故选C．
2、
已知
是正△
的中心．若
，其中
，
，则
的值为
A. 
B. 
C. 
D. 2
C
由题
是正△
的中心，延长
交
与
则
即
故选C.
3、
若
，则
的大小关系为
A. 
B. 
C. 
D. 
C
选C.
4、
已知直线
,其中
在平面
内.则“
”是“
”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
由
在平面
内. “
”不能得到“
”，反过来由“
”
可以得到“
”，故“
”是“
”的必要而不充分条件.
故选B.
5、
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A. 
B. 
C. 
D. 16
B
由三视图还原原几何体如图，
该三棱锥底面是等腰三角形，底边长为4，底边上的高为4，三棱锥的高为2．
故选B．
6、
执行如图所示的程序框图，输出的
值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
D
模拟程序的运行，可得
；
不满足条件
，执行循环体，
；
不满足条件
，执行循环体，
；
此时，满足条件
，退出循环，输出k的值为4．
故选A．
7、
若
满足
则
的最大值为
A. 1 B. 3 C. 4 D. 
D
根据题意，画出可行域如图所示，则当目标函数经过点
时取得最大值，最大值为
故选D.
8、
设集合
，
，则
A. 
B. 
C. 
D. 
A
故选A.
9、
在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，他们的终边关于
轴对称，若
，则
=__.
角
与角
均以
为始边，它们的终边关于
轴对称
故答案为： 
．
10、
曲线
为参数)的对称中心到直线
的距离为_______.
曲线
为参数)表示以
为圆心，以1 为半径的圆，圆心即为对称中心，则圆心到直线
的距离为
即答案为
.
11、
设双曲线
经过点(4,1),且与
具有相同渐近线,则
的方程为________________;渐近线方程为__________________.
与
具有相同渐近线的双曲线方程可设为
∵双曲线
经过点(4,1), 
即双曲线方程为
即
对应的渐近线方程为
，
故答案为(1). 
(2). 
12、
已知
为等差数列，
为其前
项和，若
，则
_______.
18
∵
为等差数列，
为其前
项和，若
，
故选：A．
即答案为18.
13、
若
，则x=__.
1
即答案为1.
14、
已知数列
.如果数列
满足
，
，其中
，则称
为
的“陪伴数列”.
（Ⅰ）写出数列
的“陪伴数列”
；
（Ⅱ）若
的“陪伴数列”是
.试证明：
成等差数列.
（Ⅲ）若
为偶数，且
的“陪伴数列”是
，证明：
.
(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
试题分析：（Ⅰ）由“陪伴数列”的定义易得：
.
（Ⅱ）证明：对于数列
及其“陪伴数列”
，
因为 
，
，
，
……
，
将上述几个等式中的第
这4个式子都乘以
，相加得
即可证明.
（Ⅲ）证明： 因为 
，
，
，
……
，
由于
为偶数，将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
，相加即可证明
试题解析：（Ⅰ）解：
.
（Ⅱ）证明：对于数列
及其“陪伴数列”
，
因为 
，
，
，
……
，
将上述几个等式中的第
这4个式子都乘以
，
相加得
即
故
所以
成等差数列.
（Ⅲ）证明： 因为 
，
，
，
……
，
由于
为偶数，将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
，相加得
即
，
.
15、
已知椭圆
的左焦点为
，左顶点为
，离心率为
，点
满足条件
.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）设过点
的直线
与椭圆
交于
两点，记
和
的面积分别为
，证明：
.
(1)
;(2)见解析.
试题分析：（Ⅰ）求出
，
利用
求
的值；
（Ⅱ）方法一：分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明
，求出面积，即可得出结论；
方法二：依题意可设直线
的方程为：
，代入椭圆方程，利用韦达定理证明
，求出面积，即可得出结论；
试题解析：（Ⅰ）椭圆
的标准方程为：
∴
，
则
，
∵
，解得
（Ⅱ）方法一：
①若直线
的斜率不存在，则
，
，符合题意
②若直线
的斜率存在，因为左焦点
，则可设直线
的方程为：
，
并设
.
联立方程组
，消去
得：
∴
,
∵
∴
∵
，
∴
方法二：依题意可设直线
的方程为：
，并设
.—5分
联立方程组
，消去
，得
∴
,
∵
∴
∵
，
∴
16、
已知函数
,其中
.
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式
在定义域内恒成立，求实数
的取值范围.
(1)
;(2)
.
试题分析：）当
时，
，
，求出
，
利用直线方程的点斜式可求求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）函数
定义域为
，且
对
进行分类讨论，可求实数
的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当
时，
∴
则
，又
∴曲线
在点
处的切线方程为：
（Ⅱ）函数
定义域为
，且
下面对实数
进行讨论：
①当
时，
恒成立，满足条件
②当
时，由
解得
，从而知
函数
在
内递增；同理函数
在
内递减，
因此
在
处取得最小值
∴
，
解得
综上：当
时，不等式
在定义域
内恒成立.
17、
如图，在正三棱柱
中，侧棱长和底面边长均为1，
是
的中点．
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）试问线段
上是否存在点
，使
？若存在，求 
的值，若不存在，说明理由．
(1)见解析;(2)
;(3)见解析.
试题分析：（Ⅰ）连结
交
于点O，连结OD，则OD是
的一条中位线，则
∥OD ，即可证明 
∥平面
（Ⅱ）以点D为坐标原点，DB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，垂直于面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，求出
及平面ADC1的一个法向量一个法向量
，即可求出
与平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）假设点E在线段
上，使
，不妨设
（
），通过 
（1） 
（2）求得
不相等，故这样的点E不存在..
试题解析：（Ⅰ）连结
交
于点O，连结OD
交
于点O 
O是
的中点
又
是
的中点 
OD是
的一条中位线
∥OD 又
∥平面
（Ⅱ）以点D为坐标原点，DB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，垂直于面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，
，0），C（
，0，0）
在平面ADC1中，
（0，
，0），
设
为平面ADC1的一个法向量，则有
，即
不妨令
，则
，
，所以
又
，则
设
与平面
所成角为
，则
=
=
与平面
所成角的正弦值为
.
（Ⅲ）假设点E在线段
上，使
不妨设
（
）
，
在平面ADC1中，
（0，
，0），
（1） 
（2）
由（1）可解得
又（2）可解得
,（1）与（2）矛盾，所以这样的点E不存在.
18、
2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：
某班 | 满意 | 不满意 |
男生 | 2 | 3 |
女生 | 4 | 2 |
（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数
（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；
（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为
，求随机变量
的分布列及其数学期望．
(1)见解析;(2)
;(3)见解析.
又由分层抽样可知，
（2）联立（1）（2）可解得X，Y.
（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A则由古典概型可求
；
（Ⅲ）
的可能取值有0，1，2，则由超几何分布可求
的分布列及其数学期望．
试题解析：（Ⅰ）不妨设女生人数为X，男生人数为Y，则可得X-Y=4 （1）
又由分层抽样可知，
（2）
联立（1）（2）可解得X=24，Y=20.
（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A，则基本事件的总数有11种，事件A中包含的基本事件有6种，所以
（Ⅲ）
的可能取值有0，1，2
对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，2人中恰好有0人持满意态度
基本事件的总数为
=55，其中包含的基本事件数有
种
所以
同理：
，
所以分布列为：
| 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
所以期望
19、
在
中，内角
所对的边分别为
.已知
，
，
的面积为9.
（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）求
及
的值.
(1)
;(2)见解析.
试题分析：（Ⅰ）由
的面积
,可以得到
.
又因为
,所以同角三角函数基本关系式可求
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在
中,由余弦定理得
.
再由正弦定理可求
的值.
试题解析：（Ⅰ）因为
的面积
,所以
,所以
.
因为
,所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在
中,由余弦定理得
,
所以
.
又因为
,
所以在
中,由正弦定理得
.