D

因为 关于原点对称的函数是，函数上的友好点的对数即方程的解的个数，也是函数与的图象的交点个数，作函数与的图象，如图，由图可得，共有个交点，数上存在友好点共有对，故选D.

D

由题意可知，函数的零点个数，等价于函数的图象交点个数，画出的图象，由图象可得它们在轴的左侧一个交点，而时，和时，它们的函数值相等，即有个交点，故选D.

B

因为对任意的，所以函数是 上的增函数，，又因为是偶函数，所以，，所以，故选B.

B

因为，所以, 所以函数是周期为的周期函数，，又因为当时， ，所以，可得，故选B.

C

因为连续函数，所以，，，,所以，函数的零点所在区间是,故选C.

B

因为，所以，，所以 ，故选B.

【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值.

A

要使函数有意义，则,由一元二次不等式的解法可得 ，函数的定义域为，故选A.

C

因为既是合中的元素，又是集合中的元素，且两集合没有其它公共元素，所以，故选C.

，故答案为.

，的取值范围是，故答案为.

，设，则，，

，故答案为.

【方法点晴】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.

（1）减区间为，增区间为，值域；（2）.

试题分析：（1）设 ，构造函数，利用该函数在 上递增，在上递减，结合复合函数的单调性，可得函数的单调区间和值域；（2）若对任意，总存在，使得成立，等价于的值域是函数的值域的子集，分别求出的值域与函数的值域，利用包含关系，列不等式组求解即可.

试题解析：(1)

设u＝x＋1，x∈[0,3]，1≤u≤4，

则， u∈[1,4]．

由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤1时，f(x)单调递减；

所以减区间为[0，1]；当2≤u≤4，即1≤x≤3时，f(x)单调递增；

所以增区间为[1，3] ;由f(1)＝4，f(0)＝f(3)＝5，得f(x)的值域为[4，5]．

(2)g(x)＝2x+a为增函数，故g(x)∈[a，a+6]，x∈[0,3]．由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴ ， ∴.

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）根据指数幂的运算法则直接化简，即可得到答案，化简过程一定要细心，避免出现计算错误；（2）利用（1）中的结论，结合倒序相加法可求得的值.

试题解析：（1）证明：，

.

（2）设，则，两式相加得，则

.

（1）；（2）.

试题分析：（1）设二次函数的解析式为，，，利用对应项系数相等列方程组，求出 的值，即可求的解析式；（2）根据二次函数的性质可得，在区间上单调递减，在区间上单调递增，根据单调性可求得在 上的值域.

试题解析：（1）设二次函数的解析式为，，，，即，又，.

（2），在区间上单调递减，在区间上单调递增，，的值域.

（1）,；（2）.

试题分析：（1）当时，先利用一元二次不等式化简集合，然后利用集合的交集、并集的定义求和；（2）先利用补集的定义求出，由的包含关系，讨论、两种情况，分别列出关于实数的不等式或不等式组，求出实数的取值范围，然后两种情况求并集即可.

试题解析：（1）根据题意，由于，，当时，，而，.

（2），若，则，若，则，

，综上，.

（1）；（2）.

试题分析：（1）先将每个因式的公式化为分式指幂的形式，然后根据指数幂的运算法则求解即可；（2）由根据对数的运算法则分别求出的值，作差即可.

试题解析：（1）.

（2）由，可得由，可得，可得，.

【方法点晴】本题主要考查对数函的运算、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）