|
江西省抚州市高三八校联考检测试卷（文科数学）
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
65 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共7题，共35分）
1、 如图，在长方体
A. 2、 已知函数 A. 3、 已知 A. 4、 【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线 A. 5、 已知直线 A. 6、 复数 A. 7、 已知全集 A.
二、填空题（共4题，共20分）
8、 传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的
注：
（2）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数. （3）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6.在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为 9、 已知函数 10、 已知圆的方程为 11、 已知
三、解答题（共2题，共10分）
12、 【2018江西抚州市高三八校联考】如图，在三棱锥 （I）求证： （II）求直线
13、 在等差数列 （1）求数列 （2）设 |
|---|
江西省抚州市高三八校联考检测试卷（文科数学）
1、
如图，在长方体
中，
,
,
，点
是棱
的中点，点
在棱
上，且满足
，
是侧面四边形
内一动点(含边界).若
平面
，则线段
长度的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
取
中点
，在
上取点
，使得
，连结
，
则平面
平面
，
因为
是侧面
内的一动点（含边界），
平面
，
所以
，
所以当与
的中点重合时，线段
长度取最小值
，
当与点或点重合时，线段长度取得最大值
或
，
因为长方体
中，
，
点
是棱
的中点，点
在棱
上，且满足
,
所以
，
，
所以线段长度的取值范围是
，故选A.
2、
已知函数
，
，
的零点依次为
，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
令函数
，可得
，即
，
令
，则
，即
，
令
，可知
，即
，显然
，故选A.
3、
已知
的面积为
，
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
根据三角形的面积公式可得
，解得
，
由余弦定理得
，
则
，故选D.
4、
【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线
(
，
)与抛物线
有相同的焦点
，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点
，
则双曲线的离心率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
C
由题意可知，抛物线
的焦点坐标为
，准线方程为
，
由
在抛物线的准线上，则
，则
，则焦点坐标为
，
所以
，则
，解得
，
双曲线的渐近线方程是
，将
代入渐近线的方程
，即
，
则双曲线的离心率为
，故选C.
5、
已知直线
与两坐标轴围成的区域为
，不等式组
所形成的区域为
,现在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
C
作出约束条件表示的可行域
，如图所示，其面积为
，
由
，解得
，即
，所得区域
的面积为
，
根据几何概型及其概率公式，得该点落在区域内的概率为
，故选C.
6、
复数
与复数
互为共轭复数(其中
为虚数单位)，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
由题意得
，所以
，故选A.
7、
已知全集
，集合
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
由题意知
，所以
，故选D.
8、
传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的
列联表，据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
优秀 | 合格 | 合计 | |
大学组 | |||
中学组 | |||
合计 |
注：
，其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 7.879 |
（2）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数.
（3）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6.在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为
，在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为
，求使得方程组
有唯一一组实数解
的概率.
（1）见解析；（2）4.5；（3）
列联表，利用公式求得
的观测值，即可作出预测结果；（2）由条形图知，所抽取的
人中优秀等级有
人，得到优秀率，用频率估计概率，得参赛选手中优秀等级的概率，即可求解所有参赛选手中优秀等级的选手人数；
（3）利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解相应的概率.
试题解析：
（1）由条形图可知列联表如下：
优秀 | 合格 | 合计 | |
大学组 | 45 | 10 | 55 |
中学组 | 30 | 15 | 45 |
合计 | 75 | 25 | 100 |
∵的观测值
，
∴没有95%的把握认为选物成绩“优秀”与文化程度有关.
（2）由条形图知，所抽取的100人中优秀等级有75人，故优秀率为
，用频率估计概率，则参赛选手中优秀等级的概率是
，∴所有参赛选手中优秀等级的选手人数约为
（万）.
（3）
从1，2，3，4，5，6中取，
从1，2，3，4，5，6中取，共有36种组合，要使方程组
有唯一一组实数解，则
，共33种组合，故所求概率
.
9、
已知函数
(其中
为自然对数的底数)，曲线
上存在不同的两点, 使得曲线在这两点处的切线都与
轴垂直，则实数
的取值范围是__________．
曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与
轴垂直，等价于函数
有两个不同的极值点，等价于
有两个不同的实根，
令
，得
，
令
，则条件等价于直线
与曲线
有两个不同的交点，
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
从而当时有最大值
在
上递增，在
上递减，
当
时，
，当
时，
，
如图所示，所以实数
的取值范围是
.
10、
已知圆的方程为
，过圆外一点
作一条直线与圆交于
，
两点，那么
__________．
16
因为圆的方程
，所以圆心为
，半径
，
所以圆与
轴交于
，
过圆外一点
作一条直线与圆交于
两点，则
与圆相切，且
，
由切割线定理得
.
11、
已知
，
，
，则
的最大值是__________．
3
因为
， 则
，
所以
，
所以
的最大值是
.
12、
【2018江西抚州市高三八校联考】如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，平面
平面
，
为
的中点．
（I）求证：
平面
；
（II）求直线
与平面
所成角的正弦值．
（I）见解析；（II）
试题分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出
，再用线面垂直的判定定理进行证明；（2）使用等体积法求出点
到平面
的距离，进一步求出
与平面
所成角的正弦值.
试题解析：
∵
,
，∴
.
又∵
，∴
,∴
.
∵平面
平面
，平面
平面
,
平面
,∴
平面
.
（2）取
的中点
，连接
，
,在
中，
且
.
又∵平面
平面
，平面
平面
.
∴
平面
.
在
中，
且
.
由（1）知
平面
，∴
平面
.
又∵
平面
，∴
.∴
在
中，∵
,∴
∴
是等边三角形，∴
设点
到平面
的距离为
，则由
得
，
解得
.
设
与平面
所成的角为
，则
，
∴直线
与平面
所成角的正弦值为
.
13、
在等差数列
中，
，
，
为等比数列
的前
项和，且
，
，
，
成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和
.
（1）
；（2）
试题分析：（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，列出方程，求得
，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）可得
，再利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前
项和.
试题解析：
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
∴
，∴
.
∴
.
∵
，即
，∴
.
∴公比
，∴
.
（2）由（1）可得
.
①当
时，
，∴
.
②当
时，
，∴
.
.
∴
∴
.
∴
.
当时，满足上式.∴.