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甘肃省高三第一次诊断性考试数学（理科）试卷
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
115 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共12题，共60分）
1、 对于任意 的最大值为（ ） A. 2、 如图，四棱锥
A. 3、 过双曲线 A. 4、 如图所示，若程序框图输出的所有实数对
A. 5、 过直线 A. 6、 中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形
A. 7、 已知 A. 65 B. 64 C. 63 D. 62 8、 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为
A. 1 B. 2 C. 9、 若实数 A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 10、 向量 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11、 在复平面内复数 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12、 设全集 A.
二、填空题（共4题，共20分）
13、 抛物线 14、 在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不在我这”； 乙说：“礼物在我这”； 丙说：“礼物不在乙处”. 如果三人中只有一人说的是真的，请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物. 15、 已知数列 16、 二项式
三、解答题（共7题，共35分）
17、 选修4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）求 （Ⅱ）若 18、 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线 （Ⅰ）求曲线 （Ⅱ）射线 19、 已知函数 （Ⅰ）若曲线 （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数 20、 椭圆 （Ⅰ）求椭圆 （Ⅱ） 21、 2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图. （Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量
（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A类：每车补贴1万元，B类：每车补贴2.5万元，C类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：
为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ 22、 四棱台被过点 （Ⅰ）求证：平面 （Ⅱ）若
23、
（Ⅰ）求角 （Ⅱ）若 |
|---|
类
类
类甘肃省高三第一次诊断性考试数学（理科）试卷
1、
对于任意
，
，不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A. 
B. 2 C. 
D. 3
B
不等式左侧
的最小值的几何意义是函数
上的点
与函数
上的点
之间距离的最小值的平方，与直线平行且与函数相切的直线为
，两直线之间距离的最下值为
，所以
，解得
，所以的最大值为2.
故选B.
2、
如图，四棱锥
的底面是边长为2的正方形，
平面
，且
，
是
上的一个动点，过点作平面
平面
，截棱锥所得图形面积为
，若平面
与平面之间的距离为
，则函数
的图象是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
过点
作
交AB于点N，点作
交PC于点F,过点
作
交CD于点E，连接EF.
则面
平面
，
.
由
平面
，可得
平面，平面
与平面之间的距离为
，且
为直角梯形.
由，得
，
所以
.
.
故选D.
3、
过双曲线
（
，
）的右焦点
作两条渐近线的垂线，垂足分别为
，点
为坐标原点，若四边形
的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
双曲线
（
，
）的渐近线为：
.
焦点
到的距离为：
，则
.
四边形
的面积为
，所以
，又
.
解得：
，所以双曲线的离心率为
.
故选D.
4、
如图所示，若程序框图输出的所有实数对
所对应的点都在函数
的图象上，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
B
执行程序框图：
，是，输出(1,1)；
，是，输出(2,2)；
，是，输出(3,4)；
，否，结束循环.
根据题意函数
经过点(1,1)，(2,2)，(3,4).
所以：
,解得：
.
.
故选B.
5、
过直线
上的点作圆
的切线，则切线长的最小值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
直线
上上任取一点
. 作圆
的切线，设切点为A.
圆
，即
，圆心为
，半径为
.
切线长为
.
.
所以切线长的最小值为
.
故选A.
6、
中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形
是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若
，则在正方形内随机取一点，该点恰好在正方形
内的概率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
如图所示，正方形
的边长为：
，正方形
的边长为：
.
由题意知
，解得
，即
.
该点恰好在正方形内的概率为
.
故选D.
7、
已知
是各项均为正数的等比数列，
为其前
项和，若
，
，则
（ ）
A. 65 B. 64 C. 63 D. 62
C
是各项均为正数的等比数列，设公比为
.
,
，解得
.
.
故选C.
8、
某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为
，则
的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 
D. 
B
有三视图可知，该几何体为高为
，底面半径为
的圆柱，上下个挖去一个半径为的球而得的几何体.
剩余几何体的体积为
，解得：
.
故选B.
9、
若实数
，
满足
则
的最大值是（ ）
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
C
作出不等式的可行域，如图所示.
即为
，平移该直线至点A时
最大.
，解得
，即A(0,1)，此时
.
故选C.
10、
向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
向量
，
，
若
，则
，解得
.
所以“
”是“”的充分不必要条件.
故选A.
11、
在复平面内复数
、 (
是虚数单位)对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
D
复数
，对应的点为(4,-3)位于第四象限.
故选D.
12、
设全集
，集合
，
，则集合
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
C
全集
，集合
，
，
.
故选C.
13、
抛物线
的焦点为
，过准线上一点
作
的垂线交
轴于点
，若抛物线
上存在点
，满足
，则
的面积为__________．
由
可得
为
的中点，准线方程
，焦点
，
不妨设点
在第三象限，因为∠
为直角，所以
，
由抛物线的定义得
轴，则可求得
，
即
，所以
.
故答案为：.
14、
在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.
甲说：“礼物不在我这”；
乙说：“礼物在我这”；
丙说：“礼物不在乙处”.
如果三人中只有一人说的是真的，请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.
甲
假设乙说的是对的，那么甲说的也对，所以假设不成立，即乙说的不对，所以礼物不在乙处，易知丙说对了，甲说的就应该是假的，即礼物在甲那里.
故答案为：甲.
15、
已知数列
满足
，
，则
的最小值为__________．
由
,得
，
∵
，
∴
.
∴
，
令
,得
，
∴当n取1,2,3时,
减小,当n取大于等于4的自然数时的值增大。
∵n=3时
;n=4时,
.
∴ann的最小值为.
故答案为：.
16、
二项式
的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)
-160
二项式
的展开式通项为：
令
，得
，
.
故答案为：-160.
17、
选修4-5：不等式选讲
已知函数
，
，且
的解集为
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，
，
，且
，求证：
.
（I）
；（II）详见解析.
试题分析：（Ⅰ）
结合题意即可得解；
（Ⅱ）由
，利用基本不等式即可证得.
试题解析：
（Ⅰ）
由
的解集为
可知.
（Ⅱ）
则
.
当且仅当
时等号成立，即
，
，
时等号成立.
18、
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线
，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线
绕极点逆时针旋转
后得到的曲线记为
.
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）射线
（
）与曲线，分别交于异于极点的
，
两点，求
.
（I）
,
；（II）
.
试题分析：（Ⅰ）由
可得
的极坐标，设曲线
上的点
绕极点顺时针旋转
后得到
在上，代入可得的极坐标方程即可得解；
（Ⅱ）将
（
）分别代入，的极坐标方程，得到
，
，由
可得解.
试题解析：
曲线
化为极坐标方程是
设曲线上的点绕极点顺时针旋转后得到在上，代入可得的极坐标方程是
.
（Ⅱ）将（）分别代入，的极坐标方程，得到
，
.
19、
已知函数
，
.
（Ⅰ）若曲线
与曲线
在公共点处有共同的切线，求实数
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数
是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.
（I）
；（II）无零点.
试题分析：（Ⅰ）设曲线
与曲线
公共点为
则由
，
，即可求
的值；
（Ⅱ）函数
是否有零点，转化为函数
与函数
在区间
是否有交点，求导根据函数单调性可知
最小值为
，
最大值为
，从而无零点
试题解析：
（Ⅰ）函数
的定义域为
，
，
设曲线与曲线公共点为
由于在公共点处有共同的切线，所以
，解得
，
.
由可得
.
联立
解得.
（Ⅱ）函数是否有零点，
转化为函数与函数在区间是否有交点，
，可得
，
令
，解得
，此时函数单调递增；
令
，解得
，此时函数单调递减.
∴当
时，函数取得极小值即最小值，.
可得
，
令
，解得
，此时函数单调递增；
令
，解得
，此时函数单调递减.
∴当
时，函数取得极大值即最大值，.
因此两个函数无交点.即函数无零点.
20、
椭圆
（
）的左、右焦点分别为
，
，过作垂直于
轴的直线
与椭圆
在第一象限交于点
，若
，且
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）
，
是椭圆
上位于直线两侧的两点.若直线
过点
，且
，求直线的方程.
（I）
；（II）
.
试题分析：（Ⅰ）由题可得
，结合
可得
，进而得方程；
（Ⅱ）易知点
的坐标为
.因为
，设直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
，设
，
，则直线
，与椭圆联立得
，
，从而得
，
，利用
即可得解.
试题解析：
（Ⅰ）由题可得，因为
，由椭圆的定义得
，所以
，所以椭圆
方程为.
（Ⅱ）易知点的坐标为.因为，所以直线，的斜率之和为0.设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，，则直线的方程为
，
由
可得
，
∴
同理直线的方程为
，可得
，
∴
，
，
，
∴满足条件的直线
的方程为
，即为
.
21、
2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.
（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量
(单位：千万立方米)与年份
(单位：年)之间的关系.并且已知关于的线性回归方程是
，试确定
的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；
（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A类：每车补贴1万元，B类：每车补贴2.5万元，C类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：
类型 |
|
|
|
车辆数目 | 10 | 20 | 30 |
为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“
”，求的分布列及期望.
（I）
,
；（II）详见解析.
试题分析：（1）根据数据计算样本中心值，代入方程得到
，将
代入方程可得千万立方米；（2）根据古典概型的计算，列举出基本事件个数，从中找到符合条件的事件个数，两式作比即可.
解析：
（Ⅰ）如折线图数据可知
代入线性回归方程
可得.
将代入方程可得千万立方米.
（Ⅱ）根据分层抽样可知
类，
类，
类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆
分别编号为,
，
，
，
，
.基本事件有
共15种
设“恰好有1辆车享受3.4万元补贴”为事件
,则
22、
四棱台被过点
的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形
是边长为2的菱形，
，
平面，
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）若
与底面所成角的正切值为2，求二面角
的余弦值.
（I）详见解析；（II）
.
试题分析：（Ⅰ）易证
，
，进而可得
平面
，从而证得；
（Ⅱ）
与底面
所成角为
，从而可得
，设
,
交于点
，以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求平面
和平面
的法向量，利用法向量求解二面角即可.
试题解析：
（Ⅰ）∵
平面，∴.
在菱形中，，
又
，∴平面，
∵
平面
，∴平面
平面.
（Ⅱ）∵平面
∴与底面所成角为，∴
，∴
设,交于点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.
则
，
，
,
.
，
同理
，
，
，
.
设平面的法向量
，
∴
则
，
设平面的法向量
，
则
，
设二面角
为
，
.
23、
中，三个内角
的对边分别为
，若
，
，且
.
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
，求周长的取值范围.
（I）
；（II）
.
试题分析：（Ⅰ）由
，得
，由正弦定理边化角得
，从而得解；
（Ⅱ）根据余弦定理可知
，进而得
，再由两边之和大于第三边，即可得范围.
试题解析：
（Ⅰ）∵，则有，
∴
∴
，
∴，∴.
（Ⅱ）根据余弦定理可知，∴
，
又∵
，∴，∴
，
则
周长的取值范围是.