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四川省成都七中高三二诊（月）模拟考试数学（理）试卷
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
105 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共11题，共55分）
1、 已知圆 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2、 等差数列 A. 1 B. 3、
A. 2 B. 1 C. 4、 在 A. 5、 若实数 A. C. 6、 按照如图所示的程序框图，若输入的
A. 2473 B. 3742 C. 4106 D. 6014 7、 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是( )
A. 8、 为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )
A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关 C. 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D. 倾向选择生育二的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 9、 若向量 A. 10、 已知复数 A. 11、 设集合 A.
二、填空题（共4题，共20分）
12、 祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下)，考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆
13、 设函数 14、 若双曲线 15、 若实数
三、解答题（共6题，共30分）
16、 已知函数 (1)当 (2)若 17、 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 （Ⅰ）以坐标原点为极点， （Ⅱ）直线 18、 已知函数 (1)讨论函数 (2)若函数 19、 已知椭圆 (1)求 (2)设 20、 如图，四棱锥
(1)求 (2)求二面角 21、 已知等比数列 (1)求 (2)设 |
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四川省成都七中高三二诊（月）模拟考试数学（理）试卷
1、
已知圆
，考虑下列命题：①圆
上的点到
的距离的最小值为
；②圆上存在点
到点
的距离与到直线
的距离相等；③已知点
，在圆上存在一点，使得以
为直径的圆与直线
相切，其中真命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
对于①，圆心
到
的距离减去半径的值为
，即圆上点到的距离的最小值为
，①错；对于②，到点
与到直线
的距离相等的点的轨迹是抛物线
， 当
时，圆方程
，可得圆与抛物线有两个交点，故②正确；对于③，当时，圆上存在点
，使得以
为直径的圆与直线
相切，故③正确，正确命题个数为
，故选C.
【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查圆的几何性质、抛物线的定义与方程，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，判断存在性结论时，也可以考虑特值法处理，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
2、
等差数列
各项都为正数，且其前
项之和为45，设
，其中
，若
中的最小项为
，则的公差不能为( )
A. 1 B. 
C. 
D. 
D
设等差数列
的首项为
，公差为
，由前
项之和为45，可得
，
，
，要使
最小，则
，
，
，可验证
，
时，都有
成立，而当
时，
不是最小值，
的公差不能是
，故选D.
3、
的展开式中
的系数是( )
A. 2 B. 1 C. 
D. 
A
展开式通项为
，令
，得
，展开式中
系数为
，令
，得
，
的展开式中
的系数是
，
的展开式中的系数是
，故选A.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
4、
在
中，角
为
，
边上的高恰为边长的一半，则
( )
A. 
B. 
C. 
D. 
A
作
延长线上一点
为等腰直角三角形，设
，则
，由勾股定理得
，由余弦定理得
，故选A.
5、
若实数
满足
，则
的取值范围是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
C
根据对数函数的性质，由
，可得
，由
，得
，综上
，
的取值范围是
，故选C.
6、
按照如图所示的程序框图，若输入的
为2018，
为8，则输出的结果为( )
A. 2473 B. 3742 C. 4106 D. 6014
B
执行程序框图，输入
，第一次循环
除以
可得，商
，余数
，将
排在最右边，即循环结束后，全部余数从右到左排列，得到的数个位数字为
，只有选项
符合题意，故选B.
7、
一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
B
由三视图可知，该三棱锥
是长方体的一部分，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，该棱锥外接球的直径等于长方体的对角线长，所以球的半径
，则外接球的体积
，故选B.
8、
为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )
A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B. 是否倾向选择生育二胎与性别无关
C. 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D. 倾向选择生育二的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
C
试题分析：从题设中所提供人数比的柱状图可以看出：倾向选择生育二胎的人数与户籍有关；是否选择生育二胎与性别无关,其中倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍的人数少于城镇户籍的人数.所以提供的四个选择支中A，B，D都是正确的，其中C是错误的,故应选C.
9、
若向量
，
，则
的面积为( )
A. 
B. 
C. 1 D. 
A
，
与
夹角余弦为
，
，
，故选A.
10、
已知复数
为纯虚数，且
，则
( )
A. 
B. 
C. 
D. 
B
是纯虚数，
可设
，可得
，
，故选B.
11、
设集合
，
，则
( )
A. 
B. 
C. 
D. 
D
或
， 
，
或
，故选D.
12、
祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下)，考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆
所围成的平面图形绕
轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图，称为“椭球体”)，请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于________.
椭圆的长半轴为
，短半轴为
，现构造一个个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得半椭球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，所以椭球的体积为
，故答案为.
13、
设函数
，已知常数
且满足
，
，则关于
的不等式
的解集为________.
，
，
，
，化为
，
，
令
，可得
，关于
的不等式的解集为，故答案为.
14、
若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
________________.
由
得渐近线方程为
，即
圆心
到渐近线的距离等于半径，
，故答案为.
15、
若实数
满足
，则
的最大值为_________.
画出条件
表示的可行域，为如图所示的开放区域，由
可得
，由图知，
的最大值是点的纵坐标，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
16、
已知函数
，
.
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)若
的解集为
，求
的值.
（1）
；（2）
试题分析：（1）当
时，
，∴
，
从而可得结果；（2）由
及
时，求出参数
,再验证不等式
的解集为
即可.
试题解析：(1)∵，∴，∴
.
(2)∵
的解集为，
∴
，而
，
∴当时，
,时，
,经检验的解集为.
17、
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，抛物线
的方程为
.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
的极坐标方程；
（Ⅱ）直线
的参数方程是
(
为参数)，
与
交于
两点，
，求
的倾斜角.
（1）
（2）
或
.
试题分析：（1）将
，代入
，可得
的极坐标方程为
；（2）把直线
的参数方程代入抛物线方程得
，利用韦达定理及直线参数方程的几何意义可得
，∴
或
.
试题解析：(1)∵
，代入
，∴
(2)不妨设点
，
对应的参数分别是
，
，
把直线
的参数方程代入抛物线方程得：
，
∴
，则
，
∴
，∴
或
.
18、
已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数存在两个极值点
且满足
，求
的取值范围.
（1）见解析；（2）
试题分析：（1）求出
，分五种情况讨论
的范围，分别令
求得
的范围，可得函数
增区间，
求得的范围，可得函数的减区间；（2）由(1)可知，
，不等式
化为
，令
，则
，
，利用导数研究函数的单调性，证明当
时，不等式不成立，当
时，可证明
，适量题意，即
.
试题解析：(1)定义域为
，
，
当
或
时，
恒成立，
当
时，由得
或
，
于是结合函数定义域的分析可得：
当时，函数在定义域
上是增函数；
当
时，函数定义域为，此时有
，
于是在
上是增函数，在
上是减函数，在
上是增函数，
当
时，函数定义域为，
于是在
上为减函数，在
上为增函数，
当
时，函数定义域为
，此时有
，
于是在上是增函数，在
上是减函数，在
上是减函数，在上是增函数，
当时，函数定义域为，
于是在
上是增函数，在
上是增函数.
(2)由(1)知存在两个极值点时，的取值范围是
，
由(1)可知，，
；
不等式化为，
令
，所以，
令，，
当时，
，
，
，所以
，不合题意；
当时，
，
，
所以
在
上是减函数，所以，适量题意，即.
综上，若，此时正数的取值范围是.
19、
已知椭圆
的左右顶点分别为
、
，
为椭圆
上不同于，的任意一点.
(1)求
的正切的最大值并说明理由；
(2)设
为椭圆的右焦点，直线
与椭圆的另一交点为
，
的中点为
，若
，求直线的斜率.
（1）
；（2）
.
试题分析：（1）直线
，
的倾斜角分别为
，
，先证明
，则
，从而可得结果；（2）设过焦点
的直线方程为
，
，
，
，联立
，则
，利用两点间距离公式求得
，再利用韦达定理以及焦半径公式求得
，解方程可得结果.
试题解析：(1)设椭圆上的点
，则
，
∴
，
设直线，的倾斜角分别为，，则
，
，
，
∴当且仅当
时，最大值为
.
(2)由题可知，斜率一定存在且
，设过焦点的直线方程为，，，，
联立，则，
∴
，∴
，∴，
而
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
.
20、
如图，四棱锥
中，侧棱
垂直于底面
，
，
，
为
的中点，
平行于
，
平行于面
，
.
(1)求的长；
(2)求二面角
的余弦值.
（1）见解析；（2）
试题分析：（1）取
的中点
，连接
、
，由三角形中位线定理，以及线面平行的判定定理可得平行于
，
平行于，于是可得
为平行四边形，所以
，
；（2）取
中点
，则
垂直于，以
点为原点，为
轴，
为
轴，
为
轴建立坐标系，平面
法向量为
，利用向量垂直数量积为零，列方程组求得
平面法向量为，平面
的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析：(1)取的中点，连接、，
因为平行于，平行于，所以平行于，
所以
四点共面，
因为平行于面
，面与面交与，所以平行于，
所以为平行四边形.
所以，.
(2取中点，则垂直于，因为平行于，所以垂直于，于是以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由垂直于，垂直于，平面法向量为，
通过计算得平面的法向量为
.经判断知二面角为钝角，于是其余弦为
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判断与性质、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
21、
已知等比数列
满足
，其中
，
为的前
项和，
.
(1)求
；
(2)设
，若
，
恒成立，求
的最小值.
（1）1；（2）
试题分析：（1）由
，可得
两式相减得
.
于是公比
，所以
，解得
；（2）根据等比数列的定义求出数列
的通项公式，根据等比数列的求和公式可得
，于是得
，即
的最小值为.
试题解析：(1)，可得两式相减得.
于是公比，所以，.
(2)
，
，
，
，
，，
所以的最小值为.