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湖北省武汉市高中毕业生二月调研测试理科数学试卷
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
105 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共12题，共60分）
1、 已知直线 A. 2、 已知函数 A. 3、 已知实数 A. 4、 已知平面向量 A. -1 B. -2 C. 5、 将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为（ ） A. 6、 已知函数 A. 7、 已知不过原点 A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 8、 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 9、 根据如下程序框图，运行相应程序，则输出
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10、 在等差数列 A. 7 B. 9 C. 14 D. 18 11、 已知集合 A. C. 12、 已知复数 A.
二、填空题（共4题，共20分）
13、 已知正四面体 14、 过圆 15、 已知 16、 在
三、解答题（共5题，共25分）
17、 已知函数 （1）若 （2）若对任意 18、 已知函数 （1）当 （2）当 19、 从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在 （2）求这50件产品尺寸的样本平均数 （3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸 附：（1）若随机变量
（2） 20、 如图，在四棱锥
（1）求 （2）求二面角 21、 在 （1）求角 （2）若 |
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湖北省武汉市高中毕业生二月调研测试理科数学试卷
1、
已知直线
与曲线
相交，交点依次为
，
，
，且
，则直线的方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
B
由函数的解析式可得：
，
导函数的对称轴
为原函数的对称中心横坐标，
则原函数对称中心纵坐标为：
，
则对称中心为
，由
可知直线
经过点，
联立方程组：
可得：
或
，
据此可得直线过点：
，
则直线方程为：
.
本题选择B选项.
2、
已知函数
，若
在
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
C
当
时，
恒成立，
；
当
时，
即：
，
令
，
则
，
令
，则：
，
则函数
在区间
上单调递减，
，
据此可得函数
，故函数
在区间上单调递增，
的最大值为：
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
本题选择C选项.
3、
已知实数
，
满足约束条件
，若不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数
，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点
处取得最大值
，
在点
或点
处取得最小值
，即
.
题中的不等式即：
，
则：
恒成立，
原问题转化为求解函数
的最小值，
整理函数的解析式有：
，
令
，则
，
令
，则
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
且
，据此可得，当
时，函数取得最大值，
则此时函数
取得最小值，最小值为：
.
综上可得，实数
的最大值为
.
本题选择A选项.
4、
已知平面向量
，
，
满足
，
，
，
，则
的最大值为（ ）
A. -1 B. -2 C. 
D. 
D
不妨设
，则：
，
则
，故
，
即：
，
则
，
当且仅当
时等号成立，
综上可得：
的最大值为
.
本题选择D选项.
5、
将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
C
将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，
每个小盒中至少有1个小球有
种放法，
甲盒中恰好有3个小球有
种放法，
结合古典概型计算公式可得题中问题的概率值为
.
本题选择C选项.
6、
已知函数
的最大值为2，且满足
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 或
D. 或
C
函数满足
，则函数关于直线
对称，
由函数的解析式可得：
，分类讨论：
若
，则
，
由函数的对称性可得：
，
令
可得：
；
若
，则
，
由函数的对称性可得：
，
令
可得：
；
综上可得：或
.
本题选择C选项.
7、
已知不过原点
的直线交抛物线
于
，
两点，若
，
的斜率分别为
，
，则
的斜率为（ ）
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
D
由题意可知，直线
的方程为：
，
与抛物线方程
联立可得：
，
则直线
的方程为：
，即
与抛物线方程联立可得：
，
则直线
的斜率为：
.
本题选择D选项.
8、
某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
如图所示，在长宽高分别为
的长方体中，
题中三视图对应的几何体为图中的四棱锥
，
棱锥的底面积为
，高为
，
其体积为
.
本题选择D选项.
9、
根据如下程序框图，运行相应程序，则输出
的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
结合流程图可知该流程图运行过程如下：
首先初始化数据：
，
，不满足
，执行：
；
，不满足，执行：
；
，不满足，执行：
；
，满足，输出
.
本题选择B选项.
10、
在等差数列
中，前
项和
满足
，则
（ ）
A. 7 B. 9 C. 14 D. 18
B
，所以
，选B.
11、
已知集合
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
求解二次不等式可得：
，
求解对数不等式可得：
，
结合交集的定义有：
.
本题选择A选项.
12、
已知复数
满足
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
B
由题意可得：
.
本题选择B选项.
13、
已知正四面体
中，
，
，
分别在棱
，
，
上，若
，且
，
，则四面体
的体积为__________．
令
，
，
由题意可得：
，解得：
，
棱长为
的正四棱锥体积为
，
则所求三棱锥的体积为：
.
14、
过圆
：
外一点
作两条互相垂直的直线
和
分别交圆于
、
和
、
点，则四边形
面积的最大值为__________．
如图所示，
，
取
的中点分别为
，则：
，
四边形
为矩形，则
，
结合柯西不等式有：
，
其中
,
，
据此可得：
，
综上可得：四边形
面积的最大值为.
15、
已知
是等比数列
的前
项和，
，
，
成等差数列，
，则
__________．
2
因为
成等差数列，所以公比
，又
，整理得到
，所以
，故
，解得
，故
，填
．
16、
在
的展开式中，
的系数为__________．
21
由题意可知
的通项公式为：
，
结合多项式的性质可得：
的系数为：
.
17、
已知函数
，
，
.
（1）若
，求不等式
的解集；
（2）若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
(1)
；(2)
.
试题分析：（1）利用零点分类讨论分
三种情况讨论即可.(2)问题等价于
，利用绝对值不等式可以得到
，从而
也就是.
解析：（1）在
时，
.
.
①在
时，
恒成立.
.
②在
时，
，即
，即
或
.
综合可知：.
③在
时，
，则或
，综合可知：.
由①②③可知：.
（2）因为
，当且仅当
与
同号，故，要使
，故只需
.故.从而.
综合可知：.
18、
已知函数
，其中
为常数.
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，求
的最大值.
(1)答案见解析；(2)
.
试题分析：
（1）由函数的解析式可得
，
.分类讨论：
①
时：
或
时，
单增.
时，单减.
②
时，在
上单增.
③
时，在
，
上单增.在
上单减.
（2）由于
，则
在
上最大值等价于在
上最大值，
记为
.则
.
由（1）的结论可得在上单减.
，则在上单增.的最大值为
.
试题解析：
（1）对求导数得到：，.
①
时，即时，
或时，
，单增.
时，
，单减.
②
时，即时，
.在上单增.
③
时，即时，
或
时，，在，上单增.
时，.在上单减.
（2）
，
在上最大值等价于在上最大值，
记为.
.
由（1）可知
时，在上单减，
，
，从而在上单减.
，在上单增.
，
的最大值为
.
19、
从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：
）落在各个小组的频数分布如下表：
数据分组 |
|
|
|
|
|
|
|
频数 | 3 | 8 | 9 | 12 | 10 | 5 | 3 |
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在
的概率；
（2）求这50件产品尺寸的样本平均数
.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸
服从正态分布
，其中
近似为样本平均值，
近似为样本方差
，经计算得
.利用该正态分布，求
.
附：（1）若随机变量服从正态分布，则
，
；
（2）
.
(1)0.16；(2)22.7；(3)0.1587.
试题分析：
（1）由题意可得产品尺寸落在
内的概率
.
（2）由平均数公式可得样本平均数为
.
（3）由题意可得
，
.则
，
.
试题解析：
（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率.
（2）样本平均数
.
（3）依题意
.
而，
，则.
.
.
.
20、
如图，在四棱锥
中，
，底面
为平行四边形，
，
，
，
.
（1）求
的长；
（2）求二面角
的余弦值.
(1)
；(2)
.
试题分析：
（1）过
作
于垂足
，则
.
过点在平面
内作
交
于
，建立以为坐标交点.
为
轴，
为
轴，
为
轴的空间直角坐标系.据此可得
，
，由两点之间距离公式可得
，则
之长为.
（2）由题意结合(1)的结论可得平面
的法向量
.平面
的法向量
.则二面角
的余弦值为
.
试题解析：
（1）过作于垂足，
.
.
过点在平面内作交于，建立以为坐标交点.为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系.
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
所求之长为.
（2）设平面的法向量
，
而
，
，
由
及
可知：
，
取
，则
，
，
.
设平面的法向量
，
，
，
由
得
，
可取.
设二面角的平面角为
.
.
二面角的余弦值为
.
21、
在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，且满足
.
（1）求角；
（2）若
，
，求边的长.
(1)
；(2)
.
试题分析：
（1）由题意结合正弦定理有
，则
，.
（2）由余弦定理可得：
,据此可得关于实数c的方程
，解方程可得.
试题解析：
（1）由
及正弦定理可知：
，
而
，
.
（2）由余弦定理可得：
,
，
，
，
.