广西壮族自治区玉林高中高三高考冲刺模拟（十）数学（理科）试卷

高中数学考试

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第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共9题，共45分）

1、

若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

2、

已知椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

3、

设,,分别为三边,,的中点，则（）

A. B. C. D.

4、

假设有两个分类变量和的列联表：

注：

对同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组为（）

A. B. C. D.

5、

一物体以速度沿直线运动，则当时间由变化到时，物体运动的路程是（）

A. 26.5 B. 53 C. 31.5 D. 63

6、

已知函数的最小正周期为，则函数的图像（）

A. 可由函数的图像向左平移个单位而得

B. 可由函数的图像向右平移个单位而得

C. 可由函数的图像向左平移个单位而得

D. 可由函数的图像向右平移个单位而得

7、

某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）

A. B. C. D.

8、

已知命题是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

9、

已知集合，，则（）

A. B. C. D.

二、填空题（共4题，共20分）

10、

在中，，，，线段在斜边上运动，且，设，则的取值范围是__________．

11、

近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为元/斤、元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在横线上填甲或乙即可）

12、

设满足约束条件，则的最大值是__________．

13、

的展开式中常数项为__________．

三、解答题（共5题，共25分）

14、

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.

15、

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线与曲线交于两点.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）求的值.

16、

已知函数（其中）.

（1）当时，求函数的图像在处的切线方程；

（2）若恒成立，求的取值范围;

（3）设，且函数有极大值点，求证：.

17、

已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.

①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；

②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

18、

已知数列的前项和为，且满足，.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，数列的前项和为，求.

广西壮族自治区玉林高中高三高考冲刺模拟（十）数学（理科）试卷

高中数学考试

一、选择题（共9题，共45分）

1、

若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【考点】

【答案】

B

【解析】

原不等式可化为，

设，则直线过定点，

由题意得函数的图象在直线的下方．

∵，

∴．

设直线与曲线相切于点，

则有，消去整理得，解得或（舍去），故切线的斜率为，解得．

又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，由解得．

当直线绕着点旋转时可得，

故实数的取值范围是．选B．

2、

已知椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【考点】

【答案】

D

【解析】

由题意得，．

设点的坐标为，则

．

∴，

又且，

∴或，

故的取值范围为．选D．

3、

设,,分别为三边,,的中点，则（）

A. B. C. D.

【考点】

【答案】

D

【解析】

∵分别为的三边的中点，

∴

．选D．

4、

假设有两个分类变量和的列联表：

注：

对同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组为（）

A. B. C. D.

【考点】

【答案】

A

【解析】

根据独立性检验的方法和列联表可得，当与相差越大，则分类变量和有关系的可能性越大，即相差越大，与相差越大．由各选项可得A满足条件，选A．

5、

一物体以速度沿直线运动，则当时间由变化到时，物体运动的路程是（）

A. 26.5 B. 53 C. 31.5 D. 63

【考点】

【答案】

C

【解析】

由题意得，在变化到这段时间内物体运动的路程是．选C．

6、

已知函数的最小正周期为，则函数的图像（）

A. 可由函数的图像向左平移个单位而得

B. 可由函数的图像向右平移个单位而得

C. 可由函数的图像向左平移个单位而得

D. 可由函数的图像向右平移个单位而得

【考点】

【答案】

D

【解析】

∵函数的最小正周期为，

∴，

∴，

∴，

∴函数的图像可由函数的图像向右平移个单位而得．选D．

7、

某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）

A. B. C. D.

【考点】

【答案】

C

【解析】

设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，由题意得．由条件概率的定义可得．选C．

8、

已知命题是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

【考点】

【答案】

A

【解析】

当是假命题时，是真命题，故是真命题；反之，当是真命题时，不一定是真命题．所以“是假命题”是“是真命题”的充分不必要条件．选A．

9、

已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【考点】

【答案】

A

【解析】

由题意得，

，

∴．选A．

二、填空题（共4题，共20分）

10、

在中，，，，线段在斜边上运动，且，设，则的取值范围是__________．

【考点】

【答案】

【解析】

∵中，，,，

∴,

∴．

如图，建立平面直角坐标系，设,则，

∴点的坐标分别为，

∴,

∴，

∵，

∴，

∴，即的范围为．

答案：

11、

近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为元/斤、元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在横线上填甲或乙即可）

【考点】

【答案】

乙

【解析】

由题意得甲购买产品的平均单价为，乙购买产品的平均单价为，由条件得．

∵，

∴，

即乙的购买方式更优惠．

答案：乙

12、

设满足约束条件，则的最大值是__________．

【考点】

【答案】

2

【解析】

画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．

由图形得，当时，，且当直线经过点时有最大值2，故可得的最大值为2．

答案：2

13、

的展开式中常数项为__________．

【考点】

【答案】

43

【解析】

二项式的展开式的通项为．

∴的展开式中的常数项为．

答案：

三、解答题（共5题，共25分）

14、

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.

【考点】

【答案】

（1）；（2）或.。

【解析】

试题分析：

（1）根据分类讨论的方法去掉绝对值，化为不等式组求解．（2）先由绝对值的三角不等式得，再根据求得实数的取值范围．

试题解析：

（1）时，不等式为，等价于

或或，

解得，或或，

∴，

∴不等式的解集是.

（2）由绝对值的三角不等式得，

∵对于恒成立，

∴，

解得或.

∴实数的取值范围为．

15、

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线与曲线交于两点.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）求的值.

【考点】

【答案】

（1）；（2）。

【解析】

试题分析：

（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得曲线的直角坐标方程为．（2）将直线的参数方程化为（为参数），将其代入抛物线方程后整理得，根据点A,B对应的参数的几何意义求解．

试题解析：

（1）曲线的极坐标方程为，即，

将代入上式可得，

∴曲线的直角坐标方程为．

（2）直线的参数方程可化为（为参数），

代入抛物线方程整理得，

设两点对应的参数分别为,

则，

∴．

16、

已知函数（其中）.

（1）当时，求函数的图像在处的切线方程；

（2）若恒成立，求的取值范围;

（3）设，且函数有极大值点，求证：.

【考点】

【答案】

（1）；（2）；（3）见解析。

【解析】

试题分析：

（1）根据导数的几何意义可得所求的切线方程．（2）由题意分离参数可得在上恒成立，设，利用导数可求得，故，解得，即为所求范围．（3）将求导后由及根与系数的关系可得极大值点，然后得到，．设，求导可得在上单调递减，故，即不等式成立．

试题解析：

（1）当时，，，

∴，

∴，

又，

∴所求的切线方程为，

即

（2）有题意得在上恒成立，

∴在上恒成立，

∵，

∴在上恒成立，

令，则

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

∴当时，取得极大值，也为最大值，且，

∴，解得，

∴实数的取值范围是．

（3）证明：由题意得，，

∴，

①当时，，单调递增，无极值点．不符合题意；

②当或时，设的两根为和，

∵为函数的极大值点，

∴，

由，，知，，

又由，得，

∵，，

令，

则，

令,，

则，

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

∴，

∴

∴在上单调递减，

∴，

∴．

17、

已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.

①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；

②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

【考点】

【答案】

（1）；（2）直线的斜率为定值。

【解析】

试题分析：

（1）由抛物线的焦点坐标可得，再结合离心率可求得，从而可得椭圆的方程．（2）①设直线方程为，，将直线方程与椭圆方程联立消元后可得，然后由四边形的特点得，根据函数的知识可得的最大值．②由可得直线的斜率之和为0，设的方程为，与椭圆方程联立消元后可得，同理，然后根据斜率公式求得直线AB的斜率验证即可．

试题解析：

（1）由题意得抛物线的焦点为，

∴，

∵，

∴

∴，

∴椭圆的方程为．

（2）①由题意设直线方程为，

由消去y整理得，

∵直线AB与椭圆交于两点，

∴，解得．

设，

则，

又，

∴，

∴当时，取得最大，

即四边形面积的最大值为．

②当时，直线的斜率之和为0，

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

故直线的方程为，

由消去y整理得

，

∴，

同理．

∴，

∴，

故直线的斜率为定值．

18、

已知数列的前项和为，且满足，.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，数列的前项和为，求.

【考点】

【答案】

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：

（1）由可得，两式相减整理得，又，因此可得数列是等比数列．（2）由题意得到，故，所以先分组求和，再利用错位相减和等差数列求和公式求和即可．

试题解析：

（1）∵

∴

两式相减：

∴，

∴

∴,

又时，，

∴，

∴,

∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．

（2）由（1）知，

∴，

∴，

∴,

设,①

∴，②

①-②得

，

∴．

又，

∴．