四川省绵阳市三台县高二(下)期中数学试卷(理科)

高中数学考试
考试时间: 分钟 满分: 80
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共9题,共45分)

1、

设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=ex﹣3ax,其中a为实数,若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,则a的取值范围是( )

A.( 1 ,+∞)

B.[ 1 ,+∞)

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)

2、

已知两曲线f(x)= 1 x2+ax与g(x)=2a2lnx+b有公共点,且在该点处有相同的切线,则a∈(0,+∞)时,实数b的最大值是( )

A.e 2

B.2e 2

C.e 3

D.4 e 3

3、

已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( ) 1

A.2

B.3

C.4

D.5

4、

若p的否命题是命题q的逆否命题,则命题p是命题q的( )

A.逆命题

B.否命题

C.逆否命题

D.p与q是同一命题

5、

若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值,则 1 + 2 的最小值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

6、

命题“∀x∈N,x2>x”的否定为( )

A.?x∈N,x2≤x

B.?x0∈N, 1 ≤x0

C.?x?N,x2>x

D.?x0?N, 1 ≤x0

7、

若m<n<0,则下列不等式中正确的是( )

A.1

B.|n|>|m|

C.2

D.m+n>mn

8、

已知a,b∈(0,1)记M=a•b,N=a+b﹣1则M与N的大小关系是( )

A.M<N

B.M=N

C.M>N

D.不确定

9、

设变量x,y满足约束条件 1 ,则z=6x﹣y的最小值为( )

A.﹣8

B.0

C.﹣2

D.﹣7

二、填空题(共3题,共15分)

10、

已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则 1 (其中a+c≠0)的取值范围为______ .

11、

已知f(x)= 1 ,则f′(1)=______ .

12、

若方程 1 kx﹣lnx=0有两个实数根,则k取值范围是______ .

三、解答题(共4题,共20分)

13、

定义在R上的函数f(x)= 1 x3+cx+3(c为常数),f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)设g(x)=4lnx﹣f′(x),(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),求g(x)的极值.

14、

已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.

(1)求实数a,b的值;

(2)解关于x的不等式: 1 >0.

15、

某单位决定建造一批简易房(房型为长方体状,房高2.5米),前后墙用2.5米高的彩色钢板,两侧用2.5米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板的高均为2.5米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米单价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元.房顶用其它材料建造,每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内.

(1)设房前面墙的长为x,两侧墙的长为y,所用材料费为p,试用x,y表示p;

(2)在材料费的控制下简易房面积S的最大值是多少?并指出前面墙的长度x应为多少米时S最大.

16、

已知函数f(x)=lnx﹣ 1 (a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)求证:∀x∈(1,2),不等式 234 恒成立.

四川省绵阳市三台县高二(下)期中数学试卷(理科)

高中数学考试
一、选择题(共9题,共45分)

1、

设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=ex﹣3ax,其中a为实数,若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,则a的取值范围是( )

A.( 1 ,+∞)

B.[ 1 ,+∞)

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)

【考点】
【答案】

D

【解析】

解:f′(x)= 1 ﹣a, 若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,

则f′(x)≤0在(1,+∞)恒成立,

即a≥ 1 在(1,+∞)恒成立,

故a≥1;

g(x)=ex﹣3ax,g′(x)=ex﹣3a,

若g(x)在(1,+∞)上有最小值,

则g(x)在(1,+∞)先递减再递增,

故y=3a和y=ex在(1,+∞)有解,

而y=ex>e,

故3a>e,a> 2

综上,a≥1,

故选:D.

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间3内,(1)如果4,那么函数5在这个区间单调递增;(2)如果6,那么函数7在这个区间单调递减.

2、

已知两曲线f(x)= 1 x2+ax与g(x)=2a2lnx+b有公共点,且在该点处有相同的切线,则a∈(0,+∞)时,实数b的最大值是( )

A.e 2

B.2e 2

C.e 3

D.4 e 3

【考点】
【答案】

A

【解析】

解:f(x)= 1 x2+ax与g(x)=2a2lnx+b, 设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0 , y0)处的切线相同、

f′(x)=x+a,g′(x)= 2

由题意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),

1 x02+ax0=2a2lnx0+b,x0+a= 3

得x0=a或x0=﹣2a(舍去),

即有b= 1 a2+a2﹣2a2lna= 4 a2﹣2a2lna.

令h(t)= 4 t2﹣2t2lnt(t>0),

则h′(t)=t(1﹣4lnt)、

于是当t(1﹣4lnt)>0,即0<t<e 5 时,h′(t)>0;

当t(1﹣4lnt)<0,即t>e 5 时,h′(t)<0.

故h(t)在(0,e 5 )为增函数,在(e 5 ,+∞)为减函数,

于是h(t)在(0,+∞)的最大值为h(e 5 )= 4 e 6 ﹣2e 67 =e 6

故b的最大值为e 6

故选:A.

3、

已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( ) 1

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】
【答案】

B

【解析】

解:由图象看出,﹣1<x<0,和x>1时xf′(x)>0;x≤﹣1,和0≤x≤1时xf′(x)≤0; ∴﹣1<x≤1时,f′(x)≤0;x>1,或x≤﹣1时,f′(x)≥0;

∴f(x)在(﹣1,1]上单调递减,在(﹣∞,﹣1],(1,+∞)上单调递增;

∴f(x)的大致图象应是B.

故选B.

4、

若p的否命题是命题q的逆否命题,则命题p是命题q的( )

A.逆命题

B.否命题

C.逆否命题

D.p与q是同一命题

【考点】
【答案】

A

【解析】

解:因为否命题和逆命题互为逆否命题, 故命题p是命题q的逆命题,

故选:A.

【考点精析】掌握四种命题是解答本题的根本,需要知道原命题:若P则q; 逆命题:若q则p;否命题:若┑P则┑q;逆否命题:若┑q则┑p.

5、

若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值,则 1 + 2 的最小值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】
【答案】

C

【解析】

解:函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx的导数为f′(x)=12x2﹣2ax﹣2b, 由函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值,可得

f′(1)=0,即12﹣2a﹣2b=0,即为a+b=6,(a,b>0),

1 + 2 = 3 (a+b)( 1 + 2

= 3 (5+ 4 + 5 )≥ 3 •(5+2 6 )= 3 •(5+4)= 7

当且仅当 4 = 5 ,即有a=2b=4时,取得最小值 7

故选:C.

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识,掌握求函数8的极值的方法是:(1)如果在9附近的左侧10,右侧11,那么12是极大值(2)如果在9附近的左侧13,右侧14,那么15是极小值.

6、

命题“∀x∈N,x2>x”的否定为( )

A.?x∈N,x2≤x

B.?x0∈N, 1 ≤x0

C.?x?N,x2>x

D.?x0?N, 1 ≤x0

【考点】
【答案】

B

【解析】

解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题P“∀x∈N,x2>x,则¬P为∃x0∈N, 1 ≤x0 . 故选:B.

7、

若m<n<0,则下列不等式中正确的是( )

A.1

B.|n|>|m|

C.2

D.m+n>mn

【考点】
【答案】

C

【解析】

解:∵m<n<0 ∴取倒数后不等式方向应该改变

12 ,故A不正确

∵m<n<0

∴两边同时乘以﹣1后不等式方向应该改变

﹣m>﹣n>0

即|m|>|n|,故B不正确

∵m<n<0

根据均值不等式知: 3 + 4 >2

故C正确

∵m<n<0

∴m+n<0,mn>0

∴m+n<mn,

故D不正确,

故选:C.

8、

已知a,b∈(0,1)记M=a•b,N=a+b﹣1则M与N的大小关系是( )

A.M<N

B.M=N

C.M>N

D.不确定

【考点】
【答案】

C

【解析】

解:a,b∈(0,1),记M=a•b,N=a+b﹣1, ∴M﹣N=a•b﹣a﹣b+1=(1﹣a)(1﹣b)>0,

∴M>N.

故选:C.

9、

设变量x,y满足约束条件 1 ,则z=6x﹣y的最小值为( )

A.﹣8

B.0

C.﹣2

D.﹣7

【考点】
【答案】

D

【解析】

解:由约束条件 1 作出可行域如图, 2

联立 3 ,得B(﹣1,1),

化目标函数z=6x﹣y为y=﹣6x+z,

由图可知,当直线y=﹣6x+z过B时,直线在y轴上的截距最大,z最小为6×(﹣1)﹣1=﹣7.

故选:D.

二、填空题(共3题,共15分)

10、

已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则 1 (其中a+c≠0)的取值范围为______ .

【考点】
【答案】

(﹣∞,﹣2 1 ]∪[2 1 ,+∞)

【解析】

解:根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}, 可得a>0,对应的二次函数的图象的对称轴为x=﹣ 1 =c,且△=4﹣4ab=0,

∴ac=﹣1,ab=1,

∴c=﹣ 1 ,b= 1

∴c=﹣b;

2 = 3 =(a﹣b)+ 4

当a﹣b>0时,由基本不等式求得(a﹣b)+ 4 ≥2 5

当a﹣b<0时,由基本不等式求得﹣(a﹣b)﹣ 4 ≥2 5

即(a﹣b)+ 4 ≤﹣2 5

2 (其中a+c≠0)的取值范围为:(﹣∞,﹣2 5 ]∪[2 5 ,+∞),

所以答案是:(﹣∞,﹣2 5 ]∪[2 5 ,+∞).

【考点精析】通过灵活运用解一元二次不等式,掌握求一元二次不等式67解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数;二判:判断对应方程的根;三求:求对应方程的根;四画:画出对应函数的图象;五解集:根据图象写出不等式的解集;规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边即可以解答此题.

11、

已知f(x)= 1 ,则f′(1)=______ .

【考点】
【答案】

1

【解析】

解:f′(x)= 1 , ∴f′(1)= 2 =1,

所以答案是:1

【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识,掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.

12、

若方程 1 kx﹣lnx=0有两个实数根,则k取值范围是______ .

【考点】
【答案】

(0, 1

【解析】

解:方程 1 kx﹣lnx=0有两个实数根可化为 函数y= 1 kx与函数y=lnx有两个不同的交点,

作函数y= 1 kx与函数y=lnx的图象如下,

2

结合图象知,

当直线与y=lnx相切时,设切点为(x,lnx);

3 = 4

故x=e;

故直线的斜率 1 k= 5

故k的取值范围为(0, 6 ).

所以答案是:(0, 6 ).

三、解答题(共4题,共20分)

13、

定义在R上的函数f(x)= 1 x3+cx+3(c为常数),f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)设g(x)=4lnx﹣f′(x),(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),求g(x)的极值.

【考点】
【答案】

(1)解:f(x)= 1 x3+cx+3,f′(x)=x2+c,

因为f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,

所以f′(0)=c=﹣1,

即f(x)= 1 x3﹣x+3

(2)解:由(1),可得g(x)=4lnx﹣x2+1,x∈(0,+∞),

则g′(x)= 2 ﹣2x= 3 =﹣ 4

①当0<x< 5 时,g′(x)>0,

可得g(x)在(0, 5 )上为增函数;

②当x≥ 5 时,g′(x)≤0,

可得g(x)在( 5 ,+∞)上为减函数;

所以g(x)在x= 5 处取得极大值g( 5 )=2ln2﹣1

【解析】

(1)求出f′(x)=x2+c;然后根据f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,求出f′(0)=c=﹣1,进而求出函数y=f(x)的解析式即可;(2)分别求出g(x)、g′(x),然后分两种情况:①当0<x< 1 和②当x≥ 1 时,讨论求出g(x)的极值即可.

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识,掌握求函数2的极值的方法是:(1)如果在3附近的左侧4,右侧5,那么6是极大值(2)如果在3附近的左侧7,右侧8,那么9是极小值.

14、

已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.

(1)求实数a,b的值;

(2)解关于x的不等式: 1 >0.

【考点】
【答案】

(1)解:由题意知1,b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根,

1 ,∴a=1,b=2

(2)解:由(1) 2 >0,

3 >0,解得:x>2或x<﹣3,

故不等式的解集是{x|x>2或x<﹣3}

【解析】

(1)由题意知1,b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根,由韦达定理可得方程组,解出即可;(2)将a,b的值代入不等式,求出不等式的解集即可.

15、

某单位决定建造一批简易房(房型为长方体状,房高2.5米),前后墙用2.5米高的彩色钢板,两侧用2.5米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板的高均为2.5米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米单价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元.房顶用其它材料建造,每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内.

(1)设房前面墙的长为x,两侧墙的长为y,所用材料费为p,试用x,y表示p;

(2)在材料费的控制下简易房面积S的最大值是多少?并指出前面墙的长度x应为多少米时S最大.

【考点】
【答案】

(1)解:依题得,p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy

即p=900x+400y+200xy

(2)解:∵S=xy,∴p=900x+400y+200xy≥ 1 +200S=200S+1200 2

又因为p≤3200,所以200S+1200 2 ≤3200,

解得﹣16≤ 2 ≤10,

∵S>0,∴0<S≤100,当且仅当 3 ,即x= 4 时S取得最大值

【解析】

(1)根据题意可分别求得前面墙,两侧墙和房顶的费用,三者相加即可求得P.(2)利用P的表达式和基本不等式求得关于 1 的不等式关系,求得 1 的范围,以及等号成立条件求得x的值.

16、

已知函数f(x)=lnx﹣ 1 (a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)求证:∀x∈(1,2),不等式 234 恒成立.

【考点】
【答案】

解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞), ∴ 1

①若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,

②若a>0,当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,a)单调递减.

当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)单调递增.

(Ⅱ)证明:∵1<x<2,

∴lnx>0,x﹣1>0,

2

只需证 3

即证 4

即证(x+1)lnx﹣2(x﹣1)>0,

令F(x)=(x+1)lnx﹣2(x﹣1),

5

由(Ⅰ)知,当a=1时fmin(x)=f(1)=0,

∴f(x)>f(1),即 6

∴F'(x)≥0,则F(x)在(1,2)上单调递增,

∴F(x)>F(1)=0,

故∀x∈(1,2),不等式 789 恒成立

【解析】

(Ⅰ)函数的定义域是(0,+∞),求出导数,分a≤0和a>0两种情况讨论导数的符号,得到单调区间.(Ⅱ)将要证的不等式等价转化为F(x)>0在区间(1,2)上恒成立,利用导数求出F(x)的最小值,只要最小值大于0即可.

【考点精析】认真审题,首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间1内,(1)如果2,那么函数3在这个区间单调递增;(2)如果4,那么函数5在这个区间单调递减),还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数36上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数31内的极值;(2)将函数3的各极值与端点处的函数值78比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键.