四川省绵阳市三台县高二(下)期中数学试卷(理科)
高中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
80 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共9题,共45分)
1、 设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=ex﹣3ax,其中a为实数,若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,则a的取值范围是( ) A.( ,+∞) B.[ ,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 2、 已知两曲线f(x)= x2+ax与g(x)=2a2lnx+b有公共点,且在该点处有相同的切线,则a∈(0,+∞)时,实数b的最大值是( ) A.e B.2e C.e D. e 3、 已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( ) A. B. C. D. 4、 若p的否命题是命题q的逆否命题,则命题p是命题q的( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.p与q是同一命题 5、 若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值,则 + 的最小值为( ) A. B. C. D. 6、 命题“∀x∈N,x2>x”的否定为( ) A.?x∈N,x2≤x B.?x0∈N, ≤x0 C.?x?N,x2>x D.?x0?N, ≤x0 7、 若m<n<0,则下列不等式中正确的是( ) A. B.|n|>|m| C. D.m+n>mn 8、 已知a,b∈(0,1)记M=a•b,N=a+b﹣1则M与N的大小关系是( ) A.M<N B.M=N C.M>N D.不确定 9、 设变量x,y满足约束条件 ,则z=6x﹣y的最小值为( ) A.﹣8 B.0 C.﹣2 D.﹣7
二、填空题(共3题,共15分)
10、 已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则 (其中a+c≠0)的取值范围为______ . 11、 已知f(x)= ,则f′(1)=______ . 12、 若方程 kx﹣lnx=0有两个实数根,则k取值范围是______ .
三、解答题(共4题,共20分)
13、 定义在R上的函数f(x)= x3+cx+3(c为常数),f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)设g(x)=4lnx﹣f′(x),(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),求g(x)的极值. 14、 已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}. (1)求实数a,b的值; (2)解关于x的不等式: >0. 15、 某单位决定建造一批简易房(房型为长方体状,房高2.5米),前后墙用2.5米高的彩色钢板,两侧用2.5米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板的高均为2.5米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米单价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元.房顶用其它材料建造,每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内. (1)设房前面墙的长为x,两侧墙的长为y,所用材料费为p,试用x,y表示p; (2)在材料费的控制下简易房面积S的最大值是多少?并指出前面墙的长度x应为多少米时S最大. 16、 已知函数f(x)=lnx﹣ (a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)求证:∀x∈(1,2),不等式 ﹣ < 恒成立. |
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四川省绵阳市三台县高二(下)期中数学试卷(理科)
1、
设函数f(x)=lnx﹣ax,g(x)=ex﹣3ax,其中a为实数,若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,则a的取值范围是( )
A.( ,+∞)
B.[ ,+∞)
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
D
解:f′(x)= ﹣a, 若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,
则f′(x)≤0在(1,+∞)恒成立,
即a≥ 在(1,+∞)恒成立,
故a≥1;
g(x)=ex﹣3ax,g′(x)=ex﹣3a,
若g(x)在(1,+∞)上有最小值,
则g(x)在(1,+∞)先递减再递增,
故y=3a和y=ex在(1,+∞)有解,
而y=ex>e,
故3a>e,a> ,
综上,a≥1,
故选:D.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
2、
已知两曲线f(x)= x2+ax与g(x)=2a2lnx+b有公共点,且在该点处有相同的切线,则a∈(0,+∞)时,实数b的最大值是( )
A.e
B.2e
C.e
D. e
A
解:f(x)= x2+ax与g(x)=2a2lnx+b, 设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0 , y0)处的切线相同、
f′(x)=x+a,g′(x)= ,
由题意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
即 x02+ax0=2a2lnx0+b,x0+a= ,
得x0=a或x0=﹣2a(舍去),
即有b= a2+a2﹣2a2lna= a2﹣2a2lna.
令h(t)= t2﹣2t2lnt(t>0),
则h′(t)=t(1﹣4lnt)、
于是当t(1﹣4lnt)>0,即0<t<e 时,h′(t)>0;
当t(1﹣4lnt)<0,即t>e 时,h′(t)<0.
故h(t)在(0,e )为增函数,在(e ,+∞)为减函数,
于是h(t)在(0,+∞)的最大值为h(e )= e ﹣2e • =e ,
故b的最大值为e .
故选:A.
3、
已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
B
解:由图象看出,﹣1<x<0,和x>1时xf′(x)>0;x≤﹣1,和0≤x≤1时xf′(x)≤0; ∴﹣1<x≤1时,f′(x)≤0;x>1,或x≤﹣1时,f′(x)≥0;
∴f(x)在(﹣1,1]上单调递减,在(﹣∞,﹣1],(1,+∞)上单调递增;
∴f(x)的大致图象应是B.
故选B.
4、
若p的否命题是命题q的逆否命题,则命题p是命题q的( )
A.逆命题
B.否命题
C.逆否命题
D.p与q是同一命题
A
解:因为否命题和逆命题互为逆否命题, 故命题p是命题q的逆命题,
故选:A.
【考点精析】掌握四种命题是解答本题的根本,需要知道原命题:若P则q; 逆命题:若q则p;否命题:若┑P则┑q;逆否命题:若┑q则┑p.
5、
若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值,则 + 的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
C
解:函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx的导数为f′(x)=12x2﹣2ax﹣2b, 由函数f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值,可得
f′(1)=0,即12﹣2a﹣2b=0,即为a+b=6,(a,b>0),
则 + = (a+b)( + )
= (5+ + )≥ •(5+2 )= •(5+4)= .
当且仅当 = ,即有a=2b=4时,取得最小值 .
故选:C.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
6、
命题“∀x∈N,x2>x”的否定为( )
A.?x∈N,x2≤x
B.?x0∈N, ≤x0
C.?x?N,x2>x
D.?x0?N, ≤x0
B
解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题P“∀x∈N,x2>x,则¬P为∃x0∈N, ≤x0 . 故选:B.
7、
若m<n<0,则下列不等式中正确的是( )
A.
B.|n|>|m|
C.
D.m+n>mn
C
解:∵m<n<0 ∴取倒数后不等式方向应该改变
即 < ,故A不正确
∵m<n<0
∴两边同时乘以﹣1后不等式方向应该改变
﹣m>﹣n>0
即|m|>|n|,故B不正确
∵m<n<0
根据均值不等式知: + >2
故C正确
∵m<n<0
∴m+n<0,mn>0
∴m+n<mn,
故D不正确,
故选:C.
8、
已知a,b∈(0,1)记M=a•b,N=a+b﹣1则M与N的大小关系是( )
A.M<N
B.M=N
C.M>N
D.不确定
C
解:a,b∈(0,1),记M=a•b,N=a+b﹣1, ∴M﹣N=a•b﹣a﹣b+1=(1﹣a)(1﹣b)>0,
∴M>N.
故选:C.
9、
设变量x,y满足约束条件 ,则z=6x﹣y的最小值为( )
A.﹣8
B.0
C.﹣2
D.﹣7
D
解:由约束条件 作出可行域如图,
联立 ,得B(﹣1,1),
化目标函数z=6x﹣y为y=﹣6x+z,
由图可知,当直线y=﹣6x+z过B时,直线在y轴上的截距最大,z最小为6×(﹣1)﹣1=﹣7.
故选:D.
10、
已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},则 (其中a+c≠0)的取值范围为______ .
(﹣∞,﹣2 ]∪[2 ,+∞)
解:根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}, 可得a>0,对应的二次函数的图象的对称轴为x=﹣ =c,且△=4﹣4ab=0,
∴ac=﹣1,ab=1,
∴c=﹣ ,b= ,
∴c=﹣b;
∴ = =(a﹣b)+ ;
当a﹣b>0时,由基本不等式求得(a﹣b)+ ≥2 ,
当a﹣b<0时,由基本不等式求得﹣(a﹣b)﹣ ≥2 ,
即(a﹣b)+ ≤﹣2
故 (其中a+c≠0)的取值范围为:(﹣∞,﹣2 ]∪[2 ,+∞),
所以答案是:(﹣∞,﹣2 ]∪[2 ,+∞).
【考点精析】通过灵活运用解一元二次不等式,掌握求一元二次不等式解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数;二判:判断对应方程的根;三求:求对应方程的根;四画:画出对应函数的图象;五解集:根据图象写出不等式的解集;规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边即可以解答此题.
11、
已知f(x)= ,则f′(1)=______ .
1
解:f′(x)= , ∴f′(1)= =1,
所以答案是:1
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识,掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
12、
若方程 kx﹣lnx=0有两个实数根,则k取值范围是______ .
(0, )
解:方程 kx﹣lnx=0有两个实数根可化为 函数y= kx与函数y=lnx有两个不同的交点,
作函数y= kx与函数y=lnx的图象如下,
结合图象知,
当直线与y=lnx相切时,设切点为(x,lnx);
故 = ;
故x=e;
故直线的斜率 k= ;
故k的取值范围为(0, ).
所以答案是:(0, ).
13、
定义在R上的函数f(x)= x3+cx+3(c为常数),f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)设g(x)=4lnx﹣f′(x),(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),求g(x)的极值.
(1)解:f(x)= x3+cx+3,f′(x)=x2+c,
因为f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,
所以f′(0)=c=﹣1,
即f(x)= x3﹣x+3
(2)解:由(1),可得g(x)=4lnx﹣x2+1,x∈(0,+∞),
则g′(x)= ﹣2x= =﹣ ,
①当0<x< 时,g′(x)>0,
可得g(x)在(0, )上为增函数;
②当x≥ 时,g′(x)≤0,
可得g(x)在( ,+∞)上为减函数;
所以g(x)在x= 处取得极大值g( )=2ln2﹣1
(1)求出f′(x)=x2+c;然后根据f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,求出f′(0)=c=﹣1,进而求出函数y=f(x)的解析式即可;(2)分别求出g(x)、g′(x),然后分两种情况:①当0<x< 和②当x≥ 时,讨论求出g(x)的极值即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
14、
已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.
(1)求实数a,b的值;
(2)解关于x的不等式: >0.
(1)解:由题意知1,b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根,
则 ,∴a=1,b=2
(2)解:由(1) >0,
即 >0,解得:x>2或x<﹣3,
故不等式的解集是{x|x>2或x<﹣3}
(1)由题意知1,b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根,由韦达定理可得方程组,解出即可;(2)将a,b的值代入不等式,求出不等式的解集即可.
15、
某单位决定建造一批简易房(房型为长方体状,房高2.5米),前后墙用2.5米高的彩色钢板,两侧用2.5米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板的高均为2.5米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米单价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元.房顶用其它材料建造,每平方米材料费为200元.每套房材料费控制在32000元以内.
(1)设房前面墙的长为x,两侧墙的长为y,所用材料费为p,试用x,y表示p;
(2)在材料费的控制下简易房面积S的最大值是多少?并指出前面墙的长度x应为多少米时S最大.
(1)解:依题得,p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy
即p=900x+400y+200xy
(2)解:∵S=xy,∴p=900x+400y+200xy≥ +200S=200S+1200 ,
又因为p≤3200,所以200S+1200 ≤3200,
解得﹣16≤ ≤10,
∵S>0,∴0<S≤100,当且仅当 ,即x= 时S取得最大值
(1)根据题意可分别求得前面墙,两侧墙和房顶的费用,三者相加即可求得P.(2)利用P的表达式和基本不等式求得关于 的不等式关系,求得 的范围,以及等号成立条件求得x的值.
16、
已知函数f(x)=lnx﹣ (a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:∀x∈(1,2),不等式 ﹣ < 恒成立.
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞), ∴ ,
①若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
②若a>0,当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,a)单调递减.
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)单调递增.
(Ⅱ)证明:∵1<x<2,
∴lnx>0,x﹣1>0,
只需证 ,
即证 ,
即证(x+1)lnx﹣2(x﹣1)>0,
令F(x)=(x+1)lnx﹣2(x﹣1),
则 ,
由(Ⅰ)知,当a=1时fmin(x)=f(1)=0,
∴f(x)>f(1),即 .
∴F'(x)≥0,则F(x)在(1,2)上单调递增,
∴F(x)>F(1)=0,
故∀x∈(1,2),不等式 ﹣ < 恒成立
(Ⅰ)函数的定义域是(0,+∞),求出导数,分a≤0和a>0两种情况讨论导数的符号,得到单调区间.(Ⅱ)将要证的不等式等价转化为F(x)>0在区间(1,2)上恒成立,利用导数求出F(x)的最小值,只要最小值大于0即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减),还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键.