云南省楚雄州姚安一中高二(下)期中数学试卷(理科)
高中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
80 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共9题,共45分)
1、 函数y= sin(x+ )+cos( ﹣x)的最大值为( ) A. B. C. D. 2、 在复平面内,复数z= 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、 已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆 =1的一个焦点重合,则m=( ) A. B. C.﹣ D.﹣ 4、 已知双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 5、 设全集U=R,集合A={x|x>0},B={x|x2﹣x﹣2<0},则A∩(∁UB)=( ) A.(0,2] B.(﹣1,2] C.[﹣1,2] D.[2,+∞) 6、 复数(1﹣ i)•i的虚部是( ) A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i 7、 已知| |=1,| |=2,向量 与 的夹角为60°,则| + |=( ) A. B. C.1 D.2 8、 等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前9项的和S9等于( ) A.66 B.99 C.144 D.297 9、 在△ABC中,a2=b2+c2+ bc,则∠A等于( ) A.60° B.45° C.120° D.150°
二、填空题(共3题,共15分)
10、 已知变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为______ . 11、 设tanα=3,则 =______ . 12、 函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0,则f(2)+f'(2)=______ .
三、解答题(共4题,共20分)
13、 已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R. (1)若a=0时,求函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围. 14、 设椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,一个顶点坐标为(2,0),离心率为 . (1)求这个椭圆的方程; (2)若这个椭圆左焦点为F1 , 右焦点为F2 , 过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,求△ABF2的面积. 15、 如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=AC=AA1 , ,点D是BC的中点. (I)求证:AD⊥平面BCC1B1; (II)求证:A1B∥平面ADC1; (III)求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值. 16、 已知函数f(x)=ex(x2+x+1),求函数f(x)的单调区间及极值. |
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云南省楚雄州姚安一中高二(下)期中数学试卷(理科)
1、
函数y= sin(x+ )+cos( ﹣x)的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
C
解:y= sin(x+ )+cos( ﹣x) = cosx+ cosx+ sinx
= cosx+ sinx
= ( cosx+ sinx)
= sin(x+θ)(其中sinθ= ,cosθ= ),
∵﹣1≤sin(x+θ)≤1,
∴函数y的最大值为 .
故选C
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正弦公式,掌握两角和与差的正弦公式:即可以解答此题.
2、
在复平面内,复数z= 对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
解:z= = , 在复平面内,复数z= 对应的点的坐标为:( ,﹣1),位于第三象限.
故选:C.
【考点精析】关于本题考查的复数的乘法与除法,需要了解设则;才能得出正确答案.
3、
已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆 =1的一个焦点重合,则m=( )
A.
B.
C.﹣
D.﹣
A
解:抛物线x2=2y的焦点(0, )与椭圆 =1的一个焦点(0, )重合,可得 = , 解得m= .
故选:A.
4、
已知双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为( )
A.
B.
C.
D.
D
解:∵双曲线C方程为: =1(a>0,b>0) ∴双曲线的渐近线方程为y=± x
又∵双曲线离心率为2,
∴c=2a,可得b= = a
因此,双曲线的渐近线方程为y=± x
故选:D.
5、
设全集U=R,集合A={x|x>0},B={x|x2﹣x﹣2<0},则A∩(∁UB)=( )
A.(0,2]
B.(﹣1,2]
C.[﹣1,2]
D.[2,+∞)
D
解:∵全集U=R,集合A={x|x>0}, B={x|x2﹣x﹣2<0}={x|﹣1<x<2},
∴CUB={x≤﹣1或x≥2},
A∩(∁UB)={x|x≥2}=[2,+∞).
故选:D.
【考点精析】解答此题的关键在于理解交、并、补集的混合运算的相关知识,掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.
6、
复数(1﹣ i)•i的虚部是( )
A.1
B.﹣1
C.i
D.﹣i
A
解:由(1﹣ i)•i= , 则复数(1﹣ i)•i的虚部是:1.
故选:A.
【考点精析】通过灵活运用复数的乘法与除法,掌握设则;即可以解答此题.
7、
已知| |=1,| |=2,向量 与 的夹角为60°,则| + |=( )
A.
B.
C.1
D.2
B
解:∵已知| |=1,| |=2,向量 与 的夹角为60°, ∴ =1×2×cos60°=1,
∴| + |= = = ,
故选:B.
8、
等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前9项的和S9等于( )
A.66
B.99
C.144
D.297
B
解:由a1+a4+a7=3a1+9d=39,得a1+3d=13①, 由a3+a6+a9=3a1+15d=27,得a1+5d=9②,
②﹣①得d=﹣2,把d=﹣2代入①得到a1=19,
则前9项的和S9=9×19+ ×(﹣2)=99.
故选B.
【考点精析】利用等差数列的前n项和公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知前n项和公式:.
9、
在△ABC中,a2=b2+c2+ bc,则∠A等于( )
A.60°
B.45°
C.120°
D.150°
D
解:∵由余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA 又a2=b2+c2+bc,
∴cosA=﹣
又∵A是三角形的内角,
∴A=150°,
故选:D.
【考点精析】解答此题的关键在于理解余弦定理的定义的相关知识,掌握余弦定理:;;.
10、
已知变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为______ .
6
解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由z=2x+y得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线y=﹣2x+z的截距最大,
此时z最大.
由 ,解得 ,即C(2,2),
代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=4+2=6.
即目标函数z=2x+y的最大值为6.
所以答案是:6.
11、
设tanα=3,则 =______ .
2
解:∵tanα=3,则 = = = = =2,
所以答案是:2.
12、
函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0,则f(2)+f'(2)=______ .
-3
解:由已知切点在切线上, 所以f(2)=﹣1,
切点处的导数为切线斜率,
所以f'(2)=﹣2,
所以f(2)+f′(2)=﹣3.
所以答案是:﹣3.
【考点精析】本题主要考查了导数的几何意义的相关知识点,需要掌握通过图像,我们可以看出当点趋近于时,直线与曲线相切.容易知道,割线的斜率是,当点趋近于时,函数在处的导数就是切线PT的斜率k,即才能正确解答此题.
13、
已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.
(1)若a=0时,求函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
(1)解:若a=0时,f(x)=x2﹣lnx的导数为f′(x)=2x﹣ ,
函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=2﹣1=1,切点为(1,1),
则有切线方程为y﹣1=x﹣1,即为x﹣y=0
(2)解:∵函数f(x)在[1,2]内是减函数,
∴f'(x)= ≤0在[1,2]上恒成立,
令h(x)=2x2+ax﹣1,有 得 ,
∴a≤﹣
(1)求出a=0时函数的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到切线方程;(2)先对函数f(x)进行求导,根据函数f(x)在[1,2]上是减函数可得到其导函数在[1,2]上小于等于0应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得a的范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
14、
设椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,一个顶点坐标为(2,0),离心率为 .
(1)求这个椭圆的方程;
(2)若这个椭圆左焦点为F1 , 右焦点为F2 , 过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,求△ABF2的面积.
(1)解:设椭圆的方程为 ,
由题意,a=2, = ,∴c= ,b=1,
∴椭圆的方程为
(2)解:左焦点F1(﹣ ,0),右焦点F2( ,0),设A(x1,y1 ),
B(x2,y2),
则直线AB的方程为 y=x+ .
由 ,消x得 5y2﹣2 y﹣1=0.∴y1+y2= ,y1y2=﹣ ,
∴|y1﹣y2|= = .
∴S△ABF2= + = +
= = = .
(1)设椭圆的方程为 ,有条件求得a 和c,从而求得b,进而得到椭圆的方程.(2)把直线AB的方程 代入椭圆的方程化简,利用根与系数的关系,求出|y1﹣y2|的值,利用S△ABF2= + = + 求得结果.
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:即可以解答此题.
15、
如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=AC=AA1 , ,点D是BC的中点.
(I)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(II)求证:A1B∥平面ADC1;
(III)求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值.
解:(I)因AB=AC,D为BC中点,故AD⊥BC 又因在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,CC1⊥平面ABC,故AD⊥CC1
又BC∩CC1=C,
故AD⊥平面BCC1B1
用向量方法证明本题请对应给分.
本题可分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
也可分别以DC,DA,AD1(D1为棱B1C1中点)为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
(II)如图,连接A1C∩AC1=E,连接DE.
因D、E分别是BC、A1C的中点,故DE是△A1BC的中位线
故A1B∥DE(6分).因A1B⊄平面ADC1
故A1B∥平面ADC1 .
用向量方法证明本题请如下给分:求出平面ADC1的法向量,
因A1B⊄平面ADC1 ,
故A1B∥平面ADC1
(III)解法一:连接B1A∩BA1=O,分别取OB、AB中点H、O1 , 连接DH、DO1 .
因为四边形ABB1A1是正方形且O1 , H分别是BA,BO中点,故HO1⊥AB.
又因O1 , H分别是BA,BC中点且AB⊥AC,故O1D⊥AB,
故∠O1HD就是二面角A﹣A1B﹣D的平面角.
设AB=2,则在Rt△HO1D中,∠HO1D=90°且 ,
故 ,故 .
解法二:设AB=AC=2,则 ,故AB2+AC2=BC2 , 故AB⊥AC,
又因三棱柱A1B1C1﹣ABC为直三棱柱,故AB,AC,AA1两两垂直,故可建系如图.
则平面AA1B的法向量为 .
又 ,
设平面A1BD的法向量 ,
则 .
令z=1可得
设所求二面角为θ,由图可知θ为锐角,故
(Ⅰ)根据线面垂直的判定定理进行证明即可,(Ⅱ)根据线面平行的判定定理进行证明即可.(III)根据二面角的定义或者建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行,以及对直线与平面垂直的判定的理解,了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
16、
已知函数f(x)=ex(x2+x+1),求函数f(x)的单调区间及极值.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:
x | (﹣∞,﹣2) | ﹣2 | (﹣2,﹣1) | ﹣1 | (﹣1,+∞) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣2),(﹣1,+∞),
函数f(x)的单调递减区间为(﹣2,﹣1).
函数的极大值为:f(﹣2)= .
极小值为:f(﹣1)=
求出函数的定义域以及函数的导数,求出极值点,通过列表判断函数的导数的符号,推出函数的单调性求解函数的极值即可.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.