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重庆市巴蜀中学高二下学期期末考试数学（文）试卷
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
5 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、解答题（共1题，共5分）
1、 已知函数 （Ⅰ）若 （Ⅱ）当 |
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重庆市巴蜀中学高二下学期期末考试数学（文）试卷
高中数学考试
一、解答题（共1题，共5分）
1、
已知函数
，
.
（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，函数
的两个极值点为
，
，且
.求证：
.
【考点】
【答案】
(1) 
；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）对
求导数，求出
可得切线斜率，因为切点为
有，根据点斜式可得切线方程；（2）
在
上有两个不等的实根，即
有两个不等的实根
，
，可得
，且
，
，令
，利用导数研究函数的单调性，求其最小值，进而可得结论.
由
的关系，用
把
表示出来，求出
的表达式与取值范围即可得到结论.
（Ⅰ）因为
，所以
，
，于是有：
，
，切点为
.
故切线方程为
.
（Ⅱ）因为函数
有两个极值点，所以
在
上有两个不等的实根，
即
有两个不等的实根
，
，可得
，且
，
因为
，则
，可得
.
，
，
令
，
，
，
，又
，
时，
，
而
，故
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
即
在
上单调递减，
所以
，得证.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及不等式证明问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出
在
处的导数，即
在点
出的切线斜率（当曲线
在
处的切线与
轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为
）；（2）由点斜式求得切线方程
.