388089

记[1，2，3，4，…，12]为1，2，3，4，…，12的最小公倍数，显然它能分别被1到12这12个自然数整除。因此[1，2，3，4，…，12]+1，[1，2，3，4，…，12]+2，…，[1，2，3，4，…，12]+12不但是12个连续的自然数，而且分别能被1到12这12个自然数整除。

由于[1，2，3，4，…，12]=27720，所以门牌号为9的这一家的电话号码是27720×n+9。由题意，27720×n+9能被13整除，即27720×n≡4 mod(13)，由27720≡4 mod(13)，因此n≡1 mod(13)。从而n的取值为1，14，27，…

（1）当n=1时，27720×1+9=27729为五位数，不合题意。

（2）当n=14时，27720×14+9=388089，符合题意。

（3）当n=27时，27720×27+9=748440+9=748449，首位数字大于6，因此不合题意。

（4）当n>27时，27720×n+9显然比748449更大，更不符合要求。

综上所述，门牌号为9的这一家的电话号码为388089。

（1）0  2   （2）不在

先写出此数列的前几项：1，3，11，41，153，571，2131，7953，…

每一项被3除的余数组成的数列为：1，0，2，2，0，1，1，0，…

这是一列以1，0，2，2，0，1六个余数为一循环的数列，由80÷6=13余2，所以第80项被3除余0；由123÷6=20余3，所以第123项被3除余数是2。

对1785是否在此列中，我们有两种方法：

（1）因为这个数列是逐渐增大的，而571和2131是相邻的两项，所以1785不在此数列中。

（2）将每一项被5除的余数组成的数列为：1，3，1，1，3，1，1，3，…

这是一列以1，3，1三个数一循环的数列，由于1785≡0 mod(5)，所以1785不在此数列中。

1

从一个数被9除的特征可以知道，一个自然数除以9的余数，与这个自然数各个数位上的数字和除以9的余数正好相同。如此一来，求一个多位数除以9的余数就转化为1到2002这2002个自然数中，所有数字之和是多少的问题。但这还不够，有这样一个规律：一个多位数被9除的余数，可以根据情况在适当的地方把这个多位数断开，然后把每一段的数加起来，这个和被9除的余数，就是这个多位数被9除的余数。

我们可以把多位数1234567891011…20012002断开1，2，3，4，…，2001，2002，而

1+2+3+4+…+2001+2002=（1+2002）×2002÷2=2003×2002÷2=2003×1001

由于2003≡5 mod(9),1001≡2 mod(9)

所以2003×1001≡5×2 mod(9)，即2003×1001≡1 mod(9)，从而多位数1234567891011…20012002被9除余1。

5

这是两个比较大的数，因此不宜算出乘积，再除以7求余数。考虑利用同余的基本性质（5）。

19790422=2827203×7+1，即19790422≡1 mod(7)

同理22409791=3201398×7+5，即22409791≡5 mod(7)

从而19790422×22409791被7除所得的余数为5。

第401行第3列

表中的数依次按第2，3，4，5，6，5，4，3，2，1列循环排列，并且每一行有五个数。所以数字的列数应该与除以10所得余数有关，行数与除以5所得商有关。

2002=200×10+2；所以2002所在列数与2所在列数是一样的，因此2002位于第3列。

2002=400×5+2；所以2000应该在第400行，从而2002位于第401行。

综上所述，2002位于此表中第401行第3列。

（1）3 （2）12012

我们只需考虑斐波那契数列的前两个数被4除的余数，后面其他数被4除的余数可根据斐波那契数列的构成规律得到。

例如：第一个数1被4除余1，第二个数1被4除余1，那么第三个数被4除的余数就是前两个余数的和，被4除的余数为2，第四个数被4除的余数就是第二个数被4除的余数1与第三个数被4除的余数2的和，被4除的余数为3。

因此斐波那契数列中前若干个数被4除的余数依次为：

1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0…

可以发现其中的规律是每6位是循环重复的，到此问题便可解决。

（1）由于2002=6×333+4，而第四个余数是3，所以第2002个数被4除余3。

（2）由于每六个数中有1个是4的倍数，所以n=6×2002=12012，即前12012个数中有2002个数是4的倍数。