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北京市昌平区初三第一学期期末数学试卷
初中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
125 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共7题，共35分）
1、 小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（ ）
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点． B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度． C. 小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次． D. 小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程． 2、 如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（ ）
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65° 3、 如图，将ΔABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 4、 将二次函数 A. C. 5、 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100° 6、 如图，点B是反比例函数
A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6 7、 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 正方体
二、填空题（共8题，共40分）
8、 阅读以下作图过程： 第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）； 第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）； 第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M． 请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________．
9、 如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：__________．
10、 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
11、 如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
12、 抛物线 13、 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．
14、 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（
15、 请写出一个图象在第二，四象限的反比例函数的表达式__________．
三、解答题（共10题，共50分）
16、 对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为 例如：点P（ （1）①点A（2， ②若点B（ （2）若点C在直线
（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为
17、 已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点． （1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形； （2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE； （3）若AC=
18、 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 （m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点． （1）求点A和点B的坐标； （2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，垂直于
19、 小明根据学习函数的经验，对函数 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m=__________； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察函数图象，写出一条该函数的性质； （4）进一步探究函数图象发现： ①方程 ②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为： y1________y2 （填“＞”、“＜”或“=”）； ③若关于x的方程
20、 如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果半径的长为3，tanD=
21、 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面 的最大距离是5m． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图） 你选择的方案是_____（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是______，求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
22、 某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点
23、 尺规作图：如图，AC为⊙O的直径． （1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
24、 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC． （1）求证： （2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
25、 计算： |
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北京市昌平区初三第一学期期末数学试卷
1、
小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（ ）
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点．
B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度．
C. 小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次．
D. 小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程．
D
解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；
根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=路程÷时间，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；
小苏在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误；
根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确；
故选D．
2、
如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A=25°，则∠D的度数是（ ）
A. 25° B. 40° C. 50° D. 65°
B
连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，
∴∠D=90°-∠COD=40°，
故选B.
3、
如图，将ΔABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
D
解：由题意知：△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．故选D．
4、
将二次函数
用配方法化成
的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
C
解：y=x2-6x+5=x2-6x+9-4=（x-3）2-4．故选C．
5、
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=
，则∠BOC的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100°
D
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D．
6、
如图，点B是反比例函数
（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. ﹣3 D. ﹣6
B
解：因为矩形AOCB的面积为6，所以k的值为6．故选B．
7、
如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 正方体
A
解：根据主视图是三角形，圆柱、长方体、正方体不符合要求，故B、C、D错误；只有A符合要求．故选A．
8、
阅读以下作图过程：
第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；
第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；
第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．
请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________．
作图见解析，
解：如图，点M即为所求．连接AC、BC．由题意知：AB=4，BC=1．∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，则AM=AC=
=
=
，∴点M表示的数为
.故答案为：
．
9、
如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：__________．
将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位（答案不唯一）
解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE．故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位．
10、
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
4
解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知：AB=
=10．由折叠的性质得：BE=BC=6，则AE=AB﹣BE=10-6=4．故答案为：4．
11、
如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
π
解：如图，连接OA、OB．∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×
=60°，弧AB的长为
=π．故答案为：π．
12、
抛物线
经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为__________．
直线x=1
解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），∴此两点关于抛物线的对称轴对称，∴x=
=1．故答案为：直线x=1．
13、
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．
16
解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA=PB=8，∴△PDE的周长=16．故答案为：16．
14、
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（
，
），（
，
），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为
（
，
），则点A的对应点
的坐标为__________．
（3，2）
解：将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），∵-1+3=2，∴0+3=3，∴A′（3，2）．故答案为：（3，2）
15、
请写出一个图象在第二，四象限的反比例函数的表达式__________．
（答案不唯一）
解：∵反比例函数的头像在第二、四象限，∴k＜0．答案不唯一，例如：
．
故答案为：
（答案不唯一）．
16、
对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为
，到y轴的距离为
，若
，则称
为点P的最大距离；若
，则称
为点P的最大距离．
例如：点P（
，
）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为
.
（1）①点A（2，
）的最大距离为________；
②若点B（
，
）的最大距离为
，则
的值为________；
（2）若点C在直线
上，且点C的最大距离为
，求点C的坐标；
（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为
，直接写出⊙O的半径r的取值范围．
（1）①5；②±5；（2）点C（
，
）或（
，
）；（3）
.
试题分析：（1）①直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最大距离”；
②点B（a，2）到x轴的距离为2，且其“最大距离”为5，所以a=±5；
（2）根据点C的“最大距离”为5，可得x=±5或y=±5，代入可得结果；
（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=﹣5，直线y=5，直线y=﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5．
试题解析：解：（1）①∵点A（2，﹣5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为2．∵2＜5，∴点A的“最大距离”为5．
②∵点B（a，2）的“最大距离”为5，∴a=±5；故答案为：5，±5．
（2）设点C的坐标（x，y），∵点C的“最大距离”为5，∴x=±5或y=±5，当x=5时，y=﹣7，当x=﹣5时，y=3，当y=5时，x=﹣7，当y=﹣5时，x=3，∴点C（﹣5，3）或（3，﹣5）．
（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x=5，直线x=﹣5，直线y=5，直线y=﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，∴5≤r≤
．
17、
已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点．
（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；
（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；
（3）若AC=
，BF=1，连接CF，则CF的长度为______．
（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）
.
试题分析：（1）根据题意补全图形；
（2）由旋转的性质得到∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，进而得到∠CAD+∠E=90°，即可的得到结论；
（3）易证△ADC∽△BDF，△ADB∽△CDF，由相似三角形的性质即可得到结论．
试题解析：解：（1）补全图形如下：
（2）证明：∵ΔCBE由ΔCAD旋转得到，∴ΔCBE≌ΔCAD，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E，∴∠BCE=∠AFE=90°，∴AF⊥BE．
（3）∵∠ACB=∠DFB=90°，∠CDA=∠FDB，∴△ADC∽△BDF，∴
，∴
．∵∠ADB=∠CDF，∴△ADB∽△CDF，∴
，∴
，
∴
，∴CF=
．
18、
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3 （m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于
轴的直线
与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围为．
（1）A（0，－3），B（1，0）；（2）y=x2－2x－3；（3）
．
试题分析：（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；
（2）确定点C坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）如图，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，求出直线l经过点A、点C时的x1+x3+x2的值即可解决问题；
试题解析：解：（1）∵抛物线y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，﹣3）；
∵抛物线y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的对称轴为直线x=1，∴点B的坐标为（1，0）．
（2）∵∠ACB=45°，∴点C的坐标为（1，﹣4），把点C代入抛物线y=mx2﹣2mx﹣3
得出m=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（3）如图，当直线l1经过点A时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，当直线l2经过点C时，直线AB的解析式为y=3x﹣3，∵C（1，﹣4），∴y=﹣4时，x=﹣
．
此时，x1=x2=1，x3=﹣
，此时x1+x3+x2=
，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，∴
．
19、
小明根据学习函数的经验，对函数
的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m=__________；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程
有个互不相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：
y1________y2 （填“＞”、“＜”或“=”）；
③若关于x的方程
有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是________．
（1）m=0；（2）答案见解析；（3）图像关于y轴对称，（答案不唯一）；（4）
；（5）
试题分析：（1）把x=2代入计算即可；
（2）用光滑的曲线把点顺次连接起来即可；
（3）观察图象即可得出结论；
（4）观察图象即可得出结论；
（5）配方得到函数的最小值，结合图象，即可得出结论．
试题解析：解：（1）当x=2时，m=
；
（2）作图如下：
（3）观察图象可知：图像关于y轴对称（答案不唯一）．
（4）观察图象可知：当x2＞x1＞2时， y1＜y2；
（5）
，∴y
.由图象可知，当
时，直线y=a与图象有4个交点，故
．
20、
如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=
，求AE的长．
（1）证明见解析；（2）
．
试题分析：（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD=4，再利用勾股定理计算出OD=5，则sinD=
，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．
试题解析：解：（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，∵tanD=
，OC=3，∴CD=4，∴OD=
=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sinD=
，∴AE=
．
21、
如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图）
你选择的方案是_____（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是______，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
（1）方案1，点B的坐标为（5，0），
；方案2，点B的坐标为（10，0），
；方案3，点B的坐标为（5，
），
；（2）3.2．
试题分析：（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论．
试题解析：解：方案1：（1）点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：
．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：
，∴抛物线的解析式为：
；
（2）由题意：把
代入
，解得：
=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
方案2：（1）点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：
．
由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：
，∴抛物线的解析式为：
；
（2）由题意：把
代入
解得：
=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．
方案3：（1）点B的坐标为（5，
），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．
设抛物线的解析式为：
，把点B的坐标（5，
），代入解析式可得：
，
∴抛物线的解析式为：
；
（2）由题意：把
代入
解得：
=
，∴水面上涨的高度为
3.2m．
22、
某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点
用高
米的测角仪
测得塔顶
的仰角为
，然后沿
方向前行
m到达点
处，在
处测得塔顶
的仰角为
．请根据他们的测量数据求此塔
的高．（结果精确到
m，参考数据：
，
，
）
36.1．
试题分析：首先证明AB=BM=40，在Rt△BCM中，利用勾股定理求出CM即可解决问题；
试题解析：解：由题意：AB=40，CF=1.5．∵∠MAC=30°，∠MBC=60°，∴∠AMB=30°，∴∠AMB=∠MAB，∴AB=MB=40．在Rt△BCM中，∵∠MCB=90°，∠MBC=60°，∴∠BMC=30°，∴BC=
BM=20，∴MC=
=
，∴MC≈34.64，∴MF=CF+CM=36.14≈36.1．
23、
尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
（1）见解析；（2）2
试题分析：（1）过点O作出直径AC的垂线，进而得出答案；
（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．
试题解析：解：（1）如图所示：
（2）∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB=90°，∴AB=
=
．
24、
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：
；
（2）若AB=10，CD=8，求BE的长．
（1）证明见解析；（2）2．
试题分析：（1）根据等弧对等角证明即可；
（2）连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=
CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB﹣OE即可．
试题解析：解：（1）∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC=弧BD，∴∠A=∠BCD；
（2）连接OC．∵直径AB⊥弦CD，CD=8，∴CE=ED=4．∵直径AB=10，∴CO=OB=5．
在Rt△COE中，∵OC=5，CE=4，∴OE=
=3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．
25、
计算：
．
试题分析：将特殊角的三角函数值代入求解即可．
试题解析：解：原式
．