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北京市密云区度第一学期期末考试初三数学试卷
初中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
125 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共8题，共40分）
1、 已知抛物线 ①若方程 ②当 ③ ④垂直于 其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 2、 如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. C. 3、 如图，△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 20° B. 40° C. 80° D. 90° 4、 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以点A为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A. 点B在圆内 B. 点B在圆上 C. 点B在圆外 D. 点B和圆的位置关系不确定 5、 在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（ ）
A. 6、 已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数 A. 7、 将抛物线 A. C. 8、 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，DE//BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC长（ ）
A.
二、填空题（共6题，共30分）
9、 下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
以上作图的依据是：__________________________________________________________． 10、 学校组织“美丽校园我设计”活动．某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园．其中矩形植物园的两邻边之和为4m，设矩形的一边长为
11、 在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）． 如图2，如果火焰AB的高度是2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像B′到O的距离是________cm．
12、 扇形半径为3cm，弧长为 13、 抛物线 14、
三、解答题（共11题，共55分）
15、 已知在平面直角坐标系 （1）当⊙O的半径为1时： ①点 ②直线经过（0，1）点，且与 （2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径
16、 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转 （1）①补全图形； ②试用含 （2）若 （3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．
17、 已知抛物线： （1）求抛物线的顶点坐标． （2）若直线 （3）已知点A（0，2），点A关于
18、 如图，Rt△ABC中，
小云根据学习函数的经验，对函数 下面是小云的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了
补全上面表格，要求结果保留一位小数．则 （2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为____cm． 19、 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，弧AC=弧BC．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F． （1）求证：AC=CE； （2）若AE=
20、 小明同学要测量学校的国旗杆BD的高度．如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距AB=20m．小明在教学楼三层的窗口C测得国旗杆顶点D的仰角为14°，旗杆底部B的俯角为22°． （1）求∠BCD的大小． （2）求国旗杆BD的高度（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
21、 点P（1，4），Q（2， （1）求k值和 （2）O为坐标原点．过
22、 如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OD⊥AB垂足为C．若AB=
23、 已知二次函数
（1）求二次函数的表达式． （2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y＜0 时自变量x的取值范围．
24、 如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC=CD． （1）求证：△AOB∽△COD． （2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC长．
25、 计算： |
|---|
北京市密云区度第一学期期末考试初三数学试卷
1、
已知抛物线
（
为任意实数）经过下图中两点M（1，－2）、N（
，0），其中M为抛物线的顶点，N为定点．下列结论：
①若方程
的两根为
，
（
），则
，
；
②当
时，函数值
随自变量
的减小而减小．
③
，
，
.
④垂直于
轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为
、
，则
=2 ．
其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
B
试题解析：①若方程
的两根为
，
（
），则
，
,故①正确；
②当
时，函数值
随自变量
的减小而减小，故②错误；
③
，
，
，故③错误；
④垂直于
轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为
、t，根据二次函数图象的对称性可得
=2，故④正确.
所以确的是①④.
故选B.
2、
如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选D．
3、
如图，△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 20° B. 40° C. 80° D. 90°
B
试题解析：∵∠AOB=80°，
∴∠ACB=
∠AOB=
×80°=40°．
故选B．
4、
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以点A为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A. 点B在圆内 B. 点B在圆上
C. 点B在圆外 D. 点B和圆的位置关系不确定
C
试题解析：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
．
∵AB=5＞4，
∴点B在⊙A外．
故选C.
5、
在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
试题解析：如图，
tan∠AOB=
=2，
故选A．
6、
已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数
的图象上，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
试题解析：∵反比例函数
，它的图象经过A（1，m），B（2，n）两点，
∴m=k<0，n=
<0，
∴
．
故选A．
7、
将抛物线
先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
B
试题解析：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2先向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x+2）2先向下平移1个单位可得到抛物线y=（x+2）2-1．
故选B．
8、
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，DE//BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC长（ ）
A. 
B. 1 C. 
D. 6
C
试题解析：∵D、E分别是AB、AC上点，DE//BC，
∴
∵AD=2，DB=1，AE=3，
∴
故选C.
9、
下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
以上作图的依据是：__________________________________________________________．
经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角为直角．
试题解析：连接OC，OD后，可证∠OCP=∠ODP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角；
由此可证明直线PC，PD都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
10、
学校组织“美丽校园我设计”活动．某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园．其中矩形植物园的两邻边之和为4m，设矩形的一边长为
m，矩形的面积为
m2．则函数
的表达式为______________，该矩形植物园的最大面积是_______________m2．
4
试题解析：根据题意，得：
=-x2+4x=-(x-2)2+4
∴当x=2时，y有最大值，为4.
故答案为：
；4.
11、
在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）．
如图2，如果火焰AB的高度是2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像B′到O的距离是________cm．
10
试题解析：如图，过O作EF⊥AB，EF⊥
易证△ABO∽△
O
∴
∵AB=2，
=5，OE=4，
∴
，
解得：OF=10.
故答案为：10.
12、
扇形半径为3cm，弧长为
cm，则扇形圆心角的度数为___________________．
60°
试题解析：设扇形的圆心角为n°，
∵扇形半径是3cm，弧长为πcm，
∴
=π，
解得：n=60，
故答案为：60°．
13、
抛物线
的对称轴方程是____________________．
试题解析：
=（x-1）2+2
∴抛物线
的对称轴方程是
14、
，则
=_________________．
试题解析：∵
∴
=
+1=
.
故答案为：
.
15、
已知在平面直角坐标系
中的点P和图形G，给出如下的定义：若在图形G上存在一点Q，使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点．
（1）当⊙O的半径为1时：
①点
，
，
中，⊙O的关联点有_____________________．
②直线经过（0，1）点，且与
轴垂直，点P在直线上．若P是⊙O的关联点，求点P的横坐标
的取值范围．
（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直．若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径
的取值范围．
（1）①
；②
；（2）
．
试题分析：（1）①根据点
，
，
，求得OP1=
，OP2=2，OP3=3，于是得到结论；
②根据定义分析，可得当最小y=1上的点P到原点的距离不小于1且不大于2时符合题意，即可得到结论；
（3）根据关联点的定义即可求出r的取值范围.
试题解析：①∵点
，
，
，
∴OP1=
，OP2=2，OP3=3，
∴P1与⊙O的最小距离为
，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为2，
∴⊙O，⊙O的关联点是
、P2；
（2）如图，以O为圆心，1为半径的圆与直线y=1交于
两点．线段
上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点．故此
.
（3）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点．
正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点
该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点
故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；
符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，
为半径的圆．
综上所述，
16、
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转
，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为
.
（1）①补全图形；
②试用含
的代数式表示∠CDA．
（2）若
，求
的大小．
（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．
（1）①答案见解析；②
；（2）
；（3）
．
试题分析：（1）①按要求作图即可；
②由∠ACB=90°，AC=BC，得∠ABC=45°,故可得出结论；
（2）易证
∽
，得
；连结FA，得△AFC是直角三角形，求出∠ACF=30°，从而得出结论；
（3）
.
试题解析：（1）①补全图形．
②∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°
∵∠BCE=
∴∠CDA=
（2）在
和
中，
，
∽
连结FA．
=
在Rt
中，
，
即
.
（3）
17、
已知抛物线：
.
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）若直线
经过（2，0）点且与
轴垂直，直线
经过抛物线的顶点与坐标原点，且
与
的交点P在抛物线上．求抛物线的表达式．
（3）已知点A（0，2），点A关于
轴的对称点为点B．抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象写出
的取值范围．
（1）（1，1）；（2）
；（3）
或
．
试题分析：（1）通过配方即可求解；
（2）由已知，
的表达式为
，
的表达式为
得交点
代入
，解得
；
（3）通过分类讨论即可求解.
试题解析：（1）将
配方得
抛物线的顶点坐标为（1，1）．
（2）由已知，
的表达式为
，
的表达式为
交点
代入
，
解得
．
（3）当抛物线过（0，2）时，解得
结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点，则
当抛物线过（0，-2），解得
结合图象可知，当抛物线开口向下且和线段AB恰有一个公共点，则
综上所述，
的取值范围是
或
18、
如图，Rt△ABC中，
，AC=BC，AB=4cm．动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E．设AE长为
cm，BD长为
cm（当D与A重合时，
=4；当D与B重合时
=0）．
小云根据学习函数的经验，对函数
随自变量
的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小云的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了
与
的几组值，如下表：
补全上面表格，要求结果保留一位小数．则
__________．
（2）在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为____cm．
（1）2.9；（2）答案见解析；（3）2.3．
试题分析：（1）通过取点、画图、测量，可得到结果；
（2）通过描点，连线即可作出函数的图象；
（3）根据题意可得当DB=AE时，AE的长度约为2.3cm．
试题解析：（1）2.9
（2）如图所示：
（3）2.3
19、
如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，弧AC=弧BC．过点B作⊙O的切线，连接AC并延长交于点E，连接AD并延长交于点F．
（1）求证：AC=CE；
（2）若AE=
，sin∠BAF=
，求DF长．
（1）答案见解析；（2）
．
试题分析：（1）连结BC，易证
.由AB是
的直径，EF切
于点B，得
，易得AB=BE，从而AC=CE；
（2）通过解直角三角形即可.
试题解析：（1）证明：连结BC．
AB是的直径，C在
上
AC=BC
AB是
的直径，EF切
于点B
AB=BE
AC=CE
（2）在
中，
，AE=
，AB=BE
在
中，AB=8，
解得：
连结BD，则
，
，
20、
小明同学要测量学校的国旗杆BD的高度．如图，学校的国旗杆与教学楼之间的距AB=20m．小明在教学楼三层的窗口C测得国旗杆顶点D的仰角为14°，旗杆底部B的俯角为22°．
（1）求∠BCD的大小．
（2）求国旗杆BD的高度（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
（1）36°；（2）13．
试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；
（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为旗杆的高．
试题解析：（1）过C作CE//AB交BD于E．
由已知，
（2）在
中，
，AB=20，
BE
8
在
中，
，CE=AB=20，
DE
5
BD
13
国旗杆BD的高度约为13米
21、
点P（1，4），Q（2，
）是双曲线
图象上一点．
（1）求k值和
值．
（2）O为坐标原点．过
轴上的动点R作
轴的垂线，交双曲线于点S，交直线OQ于点T，且点S在点T的上方．结合函数图象，直接写出R的横坐标
的取值范围．
（1）
，
；（2）
或
．
试题分析：（1）把点P（1，4）代入
得k=4；把Q（2，
）代入
得m=2;
（2）作出图象，容易得出结论.
试题解析：（1）
点P（1，4），Q（2，
）是双曲线
图象上一点．
，
，
（2）如图所示，
∴
或
22、
如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OD⊥AB垂足为C．若AB=
，CD=1 ，求⊙O的半径长．
．
试题分析：连接AO.由垂径定理得AC=
，设
半径为r，由勾股定理可求出结论.
试题解析：
AB是
的弦，
的半径OD
垂足为C，
AC=BC=
连接OA．设
半径为r，
则
即
解得：
23、
已知二次函数
图象上部分点的横坐标
、纵坐标
的对应值如下表：
（1）求二次函数的表达式．
（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y＜0 时自变量x的取值范围．
（1）
；（2）
．
试题分析：（1）运用待定系数法求解即可；
（2）画出函数图象，根据函数图象直接写出y＜0 时自变量x的取值范围．
试题解析：（1）由已知可知，二次函数经过（0，3），（1，0）则有
解得：
（2）如图所示：
根据函数图象得，当y＜0 时自变量x的取值范围为：
.
24、
如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC=CD．
（1）求证：△AOB∽△COD．
（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC长．
（1）答案见解析；（2）2．
试题分析：由BD是∠ABC的角平分线得
，再由BC=CD得
，所以
，又
，从而
∽
；
（2）根据
∽
可求出结果.
试题解析：（1）证明：
BO是
的角平分线
BC=CD
又
∽
（2）
∽
又
AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD
OC=2
25、
计算：
.
2
试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．
试题解析：原式=
=2