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北京市平谷区初三第一学期期末数学试卷
初中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
130 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共8题，共40分）
1、 如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），按A→B→C→D→A…排列，则第2018个点所在的坐标是（ ）
A. （1，1） B. （﹣1，1） C. （﹣1，﹣2） D. （1，﹣2） 2、 反比例函数 A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非负数 3、 如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（ ）
A. 100° B. 80° C. 50° D. 40° 4、 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB的值是（ ） A. 5、 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是（ ）
A. 6、 下列各点在函数 A. （0，0） B. （1，1） C. （0，﹣1） D. （1，0） 7、 如图，AD∥BE∥CF，直线
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8、 已知 A.
二、填空题（共7题，共35分）
9、 下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程． 作法：如图，（1）作射线AD； （2）在射线AD上任意取一点O（点O不与点A重合）； （3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B； （4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C； （5）作射线AC． ∠DAC即为所求作的30°角． 请回答：该尺规作图的依据是_________________．
10、 如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：_________________．
11、 关于x的二次函数 12、 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是_________________（结果不取近似值）．
13、 已知菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积是_________________． 14、 圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是_________________cm（结果不取近似值）． 15、 将二次函数
三、解答题（共11题，共55分）
16、 在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”； （2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N． ①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式； ②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．
17、 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD． （1）请根据题意补全图1； （2）猜测BD和CE的数量关系并证明； （3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．
18、 已知函数 （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）求函数 （3）若函数 19、 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）AC=2，AB=6，求BE的长．
20、 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=
21、 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= （1）求m，k的值； （2）已知点P（a，0）（a＞0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线y=2x﹣2于点M，交函数y= ①当a=4时，求MN的长； ②若PM＞PN，结合图象，直接写出a的取值范围．
22、 缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角
23、 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．
24、 如图，∠ABC=∠BCD=90°，∠A=45°，∠D=30°，BC=1，AC，BD交于点O．求
25、 如图，函数 （1）求b，c的值； （2）画出这个函数的图象．
26、 计算： |
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北京市平谷区初三第一学期期末数学试卷
1、
如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），按A→B→C→D→A…排列，则第2018个点所在的坐标是（ ）
A. （1，1） B. （﹣1，1） C. （﹣1，﹣2） D. （1，﹣2）
B
∵2018÷4=504……2，
∴第2018个点所在的坐标是（﹣1，1）.
故选B.
2、
反比例函数
的图象上有两点
，
，若x1＞x2，x1x2＞0，则y1－y2的值是（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非负数
B
∵x1＞x2，x1x2＞0，
∴函数图像经过经过一、三象限，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1<y2,
∴y1－y2<0
故选B.
3、
如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（ ）
A. 100° B. 80° C. 50° D. 40°
C
∵OA=OB,
∴∠BAO=∠ABO=40°，
∴∠O=180°-40°-40°=100°,
∴
.
故选C.
4、
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB的值是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
如图，sinB=
.
故选A.
5、
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，则△CBD与△ABC的周长比是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
D
∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△CBD∽△ABC，
∴∠CBD=∠A=30°，
Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD，
∴△CBD与△ABC的相似比1：2，
∴△CBD与△ABC的周长之比等于相似比为1：2.
故选D.
6、
下列各点在函数
图象上的是（ ）
A. （0，0） B. （1，1） C. （0，﹣1） D. （1，0）
D
A. 把（0，0）代入
得，左=0，右=1 ，故不符合题意；
B. 把（1，1）代入
得，左=1，右=-1+1=0 ，故不符合题意；
C. 把（0，﹣1）代入
得，左=-1，右=1 ，故不符合题意；
D. 把（1，0）代入
得，左=0，右=-1+0=0 ，故不符合题意；
故选D.
7、
如图，AD∥BE∥CF，直线
与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
C
∵AD∥BE∥CF，
∴
,
∵AB=1，BC=3，DE=2，
∴
.
故选C.
8、
已知
，则
的值是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
A
设a=k,b=2k,
则
.
故选A.
9、
下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图，（1）作射线AD；
（2）在射线AD上任意取一点O（点O不与点A重合）；
（3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B；
（4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C；
（5）作射线AC．
∠DAC即为所求作的30°角．
请回答：该尺规作图的依据是_________________．
答案不唯一，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．
连接OC,BC,
由做法知，OB=OC=BC,
∴△OBC是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）,
∴∠BOC=60°（等边三角形的三个内角都等于60°）,
∴∠DAC=
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）.
10、
如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：_________________．
答案不唯一，如：△ABC绕点O逆时针旋转90°
由图可知，把△ABC绕点O逆时针旋转90°可得到△DEF.
11、
关于x的二次函数
（a＞0）的图象与x轴的交点情况是_________________．
有两个不同交点
∵△=(-2a)2-4×a(a-1)=4a2-4a2+4a=4a>0,
∴方程
有两个不相等的实数根，
∴函数图像与x轴有两个不同交点.
12、
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是_________________（结果不取近似值）．
由题意得
∠BOC=360°÷6÷2=30°,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
.
13、
已知菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积是_________________．
如图，作AE⊥BC于点E.
∵四边形ABCD是菱形，，AB=2，
∴BC=AB=2.
∵
,
∴AE=sin60°×2=
,
∴菱形ABCD的面=BC·AE=
.
14、
圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长是_________________cm（结果不取近似值）．
4π
弧长为:
.
15、
将二次函数
化为
的形式，则h=___________，k=_______________．
1 2
∵
=(x-1)2+2,
∴h=1,k=2.
16、
在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；
（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N．
①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；
②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．
（1）答案不唯一，如：（4，3），（3，4）；（2）①y=x；②0＜m－n≤
．
试题分析：根据“互换点”的定义，结合图形写出符合题意的点即可；（2）①因点M的坐标为（4，0），根据“互换点”的定义，点N的坐标为（0,4），由圆的对称性可知圆心P在直线OA上，从而可求圆心P所在直线的表达式；②由MN为⊙P直径时，求出m－n的最大值，由点M，N重合时，求出m－n的最小值.
解：（1）答案不唯一，如：（4，3），（3，4）；
（2）①连结MN，∵OM=ON=4，∴Rt△OMN是等腰直角三角形．
过O作OA⊥MN于点A，∴点M，N关于直线OA对称．
由圆的对称性可知，圆心P在直线OA上，∴圆心P所在直线的表达式为y=x．
②当MN为⊙P直径时，由等腰直角三角形性质，可知m－n=
；
当点M，N重合时，即点M，N横纵坐标相等，所以m－n=0；
∴m－n的取值范围是0＜m－n≤
．
17、
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．
（1）答案见解析；（2）BD=CE；（3）PB的长是
或
．
试题分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而可得BD=CE;（3）①根据“SAS”可证△ABD≌△ACE,从而得到∠ABD=∠ACE,再由两角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△PBE,列比例方程可求出PB的长；②与①类似，先求出PD的长，再把PD和BD相加.
解：（1）如图
（2）BD和CE的数量是：BD=CE ；
∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠CAE．
∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（3）①CE=
.
∵△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE,
∴△ACD∽△PBE,
,
∴
;
②∵△ABD∽△PDC,
,
∴
;
∴PB=PD+BD=
.
∴PB的长是
或
．
18、
已知函数
的顶点为点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求函数
的图象与x轴的交点坐标；
（3）若函数
的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．
（1）D（m，
）；（2）与x轴的交点坐标（0，0），（2m，0）；（3）﹣1＜m＜0．
试题分析：（1）通过配方把一般式化成顶点式，可求出顶点坐标；（2）令y=0，解方程x2-2mx=0即可；（3）①由顶点D在直线y=m的上方得-m2>m，结合y=m2-m的图象可知﹣1＜m＜0；②解不等式x2-2mx＞m，当x2-2mx=m时，抛物线和直线有唯一交点，由△=0解得m1=0,m2=-1从而m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
解：（1）
∴D（m，
）．
（2）令y=0，得
．
解得
，∴函数的图象与x轴的交点坐标（0，0），（2m，0）．
（3）方法一：∵函数
的图象在直线y=m的上方，∴顶点D在直线y=m的上方，∴
＞m．
即
＜0．
由y=
的图象可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
方法二：∵函数
的图象在直线y=m的上方，∴
＞m，∴当
=m时，抛物线和直线有唯一交点，∴
=
．
解得
，∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0．
19、
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）AC=2，AB=6，求BE的长．
（1）证明见解析；（2）3．
试题分析：（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明OD∥AC，根据平行线的性质得到∠BOD=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）由OD∥AC可证△BDO∽△BCA，由相似三角形的性质得
．设OD=r，则BO=6﹣r，代入比例式求出r，从而求出BE的值.
（1）证明：连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC．
∵∠ACB=90°，∴∠ODB=90°．
即OD⊥BC于D，∴BC是⊙O的切线．
（2）∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴
．
∵AC=2，AB=6，∴设OD=r，则BO=6﹣r，∴
．
解得r=
，∴AE=3，∴BE=3．
20、
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=
．求AF的长．
2
试题分析：方法一，由平行四边形的性质得OD=
，解Rt△ODF，求出OF和FD的长. 过O作OG∥AB，交AD于点G，易证△AEF∽△GOF，从而得到AF=GF．然后根据
列方程求解.
方法二，由△ODF≌△OHB可知，OH=OF，从而得到
，再由△EAF∽△EBH可得
；解直角三角形Rt△BOH,求出BH的长，代入比例式求出AF的长.
解：方法一：
∵□ABCD，∴AD∥BC，OD=
BD=
．
∵∠CBD=30°，∴∠ADB=30°．
∵EO⊥BD于O，∴∠DOF=90°．
在Rt△ODF中，tan30°=
，∴OF=3．∴FD=6．
过O作OG∥AB，交AD于点G，∴△AEF∽△GOF，∴
．
∵EF=OF，∴AF=GF．
∵O是BD中点，∴G是AD中点．
设AF=GF=x，则AD=6+x，∴AG=
．
解得x=2，∴AF=2．
方法二：延长EF交BC于H．
由△ODF≌△OHB可知，OH=OF．
∵AD∥BC，∴△EAF∽△EBH，∴
．
∵EF=OF，∴
．
由方法一的方法，可求BH=6，∴AF=2．
21、
如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=
（k＞0，x＞0）的图象与直线y=2x﹣2交于点Q（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）已知点P（a，0）（a＞0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线y=2x﹣2于点M，交函数y=
的图象于点N．
①当a=4时，求MN的长；
②若PM＞PN，结合图象，直接写出a的取值范围．
（1）m=2，k=4；（2）①MN=5；②a＞2．
试题分析：（1）把Q（2，m）代入y=2x﹣2，求出m的值，再把求得的Q（2，2）代入y=
，可求出k的值；
（2）①把a=4分别代入y=
和y=2x﹣2中，求出点M和点N的纵坐标，从而可求出MN的长度；②由图像可知，当a>2时，PM>PN.
解：（1）∵直线y=2x﹣2经过点Q（2，m），∴m=2，∴Q（2，2）．
∵函数y=
经过点Q（2，2），∴k=4．
（2）①当a=4时，P（4，0）．
∵y=2x﹣2，y=
，∴M（4，6），N（4，1），∴MN=5．
②∵PM＞PN，∴a＞2．
22、
缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角
为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．
700sin20°+700sin16°+126
试题分析：本题考查了解直角三角形的实际应用，在Rt△ABC中，根据
可求出BC的长度；在Rt△BDE中，根据
可求出DE的长度；从而可求出D点的海拔高度.
解：如图，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠
=16°，AB=700，由sin
，可求BC的长．
即BC=AB·sin
=700sin16°，在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠β=16°，BD=AB=700，由sinβ，可求DE的长．
即DE=BD·sinβ=700sin20°，由矩形性质，可知EF=BC=700sin16°，FH=AG=126．
从而，可求得DH的长．
即DH=DE+EF+FH=700sin20°+700sin16°+126．
23、
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．
2
试题分析：本题考查了三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质，垂径定理.由三角形外角的性质可求出∠COB=30°，从而CE=
OC=1，再由垂径定理求出CD的长.
解：∵∠A=15°，∴∠COB=30°．
∵AB=4，∴OC=2．
∵弦CD⊥AB于E，∴CE=
CD．
在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，∴CE=1，∴CD=2．
24、
如图，∠ABC=∠BCD=90°，∠A=45°，∠D=30°，BC=1，AC，BD交于点O．求
的值．
试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形.由∠A=∠ACD，∠AOB=∠COD可证△ABO∽△CDO，从而
；再在Rt△ABC和Rt△BCD中分别求出AB和CD的长，代入即可.
解：∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴
．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=1，∴AB=1．
在Rt△BCD中，∠BCD =90°，∠D=30°，BC=1，∴CD=
，∴
．
25、
如图，函数
的图象经过点A，B，C．
（1）求b，c的值；
（2）画出这个函数的图象．
（1）b=2，c=3；（2）答案见解析．
试题分析：（1）把A（﹣1，0），B（0，3）代入函数解析式，得到关于b和c的方程组，解方程组求出b和c的值；
（2）把函数解析式化成顶点式，可知C是顶点，根据对称性找出点B的对称点D，点A的对称点E，画出图像.
解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（0，3），∴
．
解得
．
（2）由（1）知，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4．
∴C是顶点，根据对称性找出点B的对称点D，点A的对称点E，画出图像.
26、
计算：
．
试题分析：第一项根据30°的正弦值解答，第二项负整数指数幂等于这个数正整数指数幂分之一，第三项根据二次根式的性质化简，第四项一个负数的绝对值等于它的相反数.
解：原式=
=
．