初三数学第一学期.公式法解一元二次方程及其应用同步练习

初中数学考试
考试时间： 分钟 满分： 80 分
题号 一 二 三
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共10题，共50分）

1、

关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有两个实数根，那么m的取值范围是（ ）

A. m≤1   B. 0＜m＜2或m＜0   C. m≤3且m≠0   D. m≥4

2、

用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（ ）

A. x1=3，x2=2   B. x1=﹣6，x2=﹣1   C. x1=6，x2=﹣1   D. x1=﹣3，x2=﹣2

3、

已知关于x的一元二次方程x2﹣px+q=0有两个根，则这两个根是（ ）

A. x=1   B. x=2   C. x=3   D. x=4

4、

方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ）

A. 1≥2

B. 3＞4

C. 5≤6

D. 7＜8

5、

用公式法解3x2﹣7x+1=0的正确结果是（ ）

A. x=1   B. x=2   C. x=3   D. x=4

6、

设a、b、c为三角形的三边长，则关于x的方程a、b、c为三角形的三边长b2x2+（b2+c2﹣a2）x+c2=0的根的情况是（ ）

A. 无实数根   B. 有两个相等的实数根

C. 有两个不相等的实数根   D. 无法确定

7、

已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列正确的是（ ）

A. n2﹣4mk＜0   B. n2﹣4mk=0   C. n2﹣4mk≥0   D. n2﹣4mk＞0

8、

方程（2x+1）（9x+8）=1的根的情况是（ ）

A. 有两个不相等的实数根   B. 有两个相等的实数根

C. 无实数根   D. 不能确定

9、

用公式法解方程x2﹣3x﹣1=0正确的解为（ ）

A. x1，2=1   B. x1，2=2   C. x1，2=3   D. x1，2=4

10、

下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ）

A. x2=0   B. （x﹣3）2﹣1=0   C. （x+3）2+1=0   D. （2x﹣1）2=0

二、填空题（共4题，共20分）

11、

若x=1是一元二次方程ax2+bx+c=O（a≠O）的根，则判别式△=b2﹣4ac和完全平方式M=（2a+b）2的关系是：△___M．（填“＞”“＜”或“=”）

12、

关于x的方程x2﹣21x﹣1=0有两个不等实根，则k的取值范围是___．

13、

一元二次方程1x2+x=3中，a=__，b=___，c=__，则方程的根是___．

14、

完成下面的解题过程：

用公式法解下列方程：

（1）2x2﹣3x﹣2=0．

解：a=___，b=___，c=___．

b2﹣4ac=___=___＞0．

1=____=___，

x1=__，x2=___．

（2）x（2x﹣2）=3x﹣3．

解：整理，得___．

a=__，b=___，c=___．

b2﹣4ac=___=___．

4=_____=____，

x1=x2=__．

（3）（x﹣2）2=x﹣3．

解：整理，得______．

a=___，b=___，c=___．

b2﹣4ac=___=___＜0．

方程___实数根．

三、解答题（共2题，共10分）

15、

用适当方法解下列方程：

（1）（3x+1）2﹣9=0

（2）x2+4x﹣1=0

（3）3x2﹣2=4x  

（4）（y+2）2=1+2y．

16、

已知关于x的一元二次方程1.（其中m为实数）

（1）若此方程的一个非零实数根为k，

① 当k = m时，求m的值；

② 若记2为y，求y与m的关系式；

（2）当3＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由

初三数学第一学期.公式法解一元二次方程及其应用同步练习

初中数学考试
一、选择题（共10题，共50分）

1、

关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有两个实数根，那么m的取值范围是（ ）

A. m≤1   B. 0＜m＜2或m＜0   C. m≤3且m≠0   D. m≥4

【考点】
【答案】

C

【解析】

因为方程有两个实数根,所以1,即2,解得3,因为方程为一元二次方程,所以4,所以5且6,故选C.

2、

用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（ ）

A. x1=3，x2=2   B. x1=﹣6，x2=﹣1   C. x1=6，x2=﹣1   D. x1=﹣3，x2=﹣2

【考点】
【答案】

C

【解析】

先将方程整理成一般式, 因为a=1,b=－5,c=－6,所以1,所以2,故选C.

3、

已知关于x的一元二次方程x2﹣px+q=0有两个根，则这两个根是（ ）

A. x=1   B. x=2   C. x=3   D. x=4

【考点】
【答案】

A

【解析】

因为a=1,b=－p,c=q,所以1,所以2,故选A.

4、

方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ）

A. 1≥2

B. 3＞4

C. 5≤6

D. 7＜8

【考点】
【答案】

A

【解析】

因为1,且a＜0,所以2≥3,故选A.

5、

用公式法解3x2﹣7x+1=0的正确结果是（ ）

A. x=1   B. x=2   C. x=3   D. x=4

【考点】
【答案】

D

【解析】

因为a=3,b=－7,c=1,所以1,所以2,故选D.

6、

设a、b、c为三角形的三边长，则关于x的方程a、b、c为三角形的三边长b2x2+（b2+c2﹣a2）x+c2=0的根的情况是（ ）

A. 无实数根   B. 有两个相等的实数根

C. 有两个不相等的实数根   D. 无法确定

【考点】
【答案】

A

【解析】

因为1,

根据三角形三边关系可得:2所以3,所以方程没有实数根,故选A.

7、

已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列正确的是（ ）

A. n2﹣4mk＜0   B. n2﹣4mk=0   C. n2﹣4mk≥0   D. n2﹣4mk＞0

【考点】
【答案】

C

【解析】

因为关于x的方程有两个实数根,所以1,即2,故选C.

8、

方程（2x+1）（9x+8）=1的根的情况是（ ）

A. 有两个不相等的实数根   B. 有两个相等的实数根

C. 无实数根   D. 不能确定

【考点】
【答案】

A

【解析】

先将方程整理成一元二次方程的一般形式,1,

然后根据2,所以一元二次方程有两个不相等的实数根,故选A.

9、

用公式法解方程x2﹣3x﹣1=0正确的解为（ ）

A. x1，2=1   B. x1，2=2   C. x1，2=3   D. x1，2=4

【考点】
【答案】

D

【解析】

因为a=1,b=－3,c=－1,所以1,所以2,故选D.

10、

下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ）

A. x2=0   B. （x﹣3）2﹣1=0   C. （x+3）2+1=0   D. （2x﹣1）2=0

【考点】
【答案】

C

【解析】

根据平方根的意义,负数没有平方根,所以C选项方程没有实数根,故选C.

二、填空题（共4题，共20分）

11、

若x=1是一元二次方程ax2+bx+c=O（a≠O）的根，则判别式△=b2﹣4ac和完全平方式M=（2a+b）2的关系是：△___M．（填“＞”“＜”或“=”）

【考点】
【答案】

=

【解析】

因为x=1是方程的一个根,所以a+b+c=0,所以c=－(a+b),所以1,故答案为:=.

12、

关于x的方程x2﹣21x﹣1=0有两个不等实根，则k的取值范围是___．

【考点】
【答案】

k≥1

【解析】

先根据二次根式的性质可得:1,解得2,又因为方程有两个不等实数根,所以3,解得4,故答案为:5.

13、

一元二次方程1x2+x=3中，a=__，b=___，c=__，则方程的根是___．

【考点】
【答案】

  1，  1,  -3  x1=﹣1+2，x2=﹣1﹣3．

【解析】

先将方程整理成一般形式得:1,所以2,因为3所以4故答案为:5,6.

14、

完成下面的解题过程：

用公式法解下列方程：

（1）2x2﹣3x﹣2=0．

解：a=___，b=___，c=___．

b2﹣4ac=___=___＞0．

1=____=___，

x1=__，x2=___．

（2）x（2x﹣2）=3x﹣3．

解：整理，得___．

a=__，b=___，c=___．

b2﹣4ac=___=___．

4=_____=____，

x1=x2=__．

（3）（x﹣2）2=x﹣3．

解：整理，得______．

a=___，b=___，c=___．

b2﹣4ac=___=___＜0．

方程___实数根．

【考点】
【答案】

  2,  -3,  -2,  9+16,  25,  1,  2,  2,  -3,  2x²﹣24x+3=0，  2，  -25，  3，  24-24，  0，  6，  7，   8，  x²﹣5x+7=0，  1，  -5，  7，  25-28，  -3，  没有

【解析】

(1)2x2﹣3x﹣2=0,因为a=2,b=－3,c=－2,

所以b2﹣4ac=9+16=25＞0,

1=2=3,

x1=2,x2=4.

(2)x（2x﹣5）=6x﹣3,

先将方程整理,得7,因为a=2,b=8,c=3,

所以b2﹣4ac=24－24=0,所以9=10=11,

所以x1=x2=12.

(3)（x﹣2）2=x﹣3,

先将方程整理,得13,

因为a=1,b=14,c=7,

所以b2﹣4ac=25－28=－3<0,

所以方程没有实数根.

故答案为:   (1). 2,   (2). -3,   (3). -2,   (4). 9+16,   (5). 25,   (6). 15, 

  (7). 16,   (8). 2,   (9). -17,   (10). 2x²﹣218x+3=0，   (11). 2,   (12). -219,

(13). 3,   (14). 24-24,   (15). 0,   (16). 20,   (17). 21, (18). 22,  

(19). x²﹣5x+7=0,   (20). 1, (21). -5,   (22). 7,   (23). 25-28,  (24). -3, (25). 没有.

三、解答题（共2题，共10分）

15、

用适当方法解下列方程：

（1）（3x+1）2﹣9=0

（2）x2+4x﹣1=0

（3）3x2﹣2=4x  

（4）（y+2）2=1+2y．

【考点】
【答案】

（1）x1=﹣1，x2=2．（2）x1=﹣2+3，x2=﹣2﹣4．（3）x1=5，x2=6，（4）此方程无解.

【解析】

试题分析:(1)可以利用平方差公式进行因式分解求解,

(2)先求出a,b,c,再代入计算1判定方程的根的情况,然后利用求根公式求解,

(3)先将方程整理成一般式, 求出a,b,c,再代入计算2判定方程的根的情况,然后利用求根公式求解,

(4) 先将方程整理成一般式, 求出a,b,c,再代入计算3判定方程的根的情况,然后利用求根公式求解.

试题解析:（1）（3x+1）2﹣9=0,

（3x+1+3）（3x+1﹣3）=0,

3x+4=0,3x﹣2=0,

所以x1=4,x2=5,

（2）x2+4x﹣1=0,

因为b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣1）=20,

所以6,

所以7,8,

（3）3x2﹣2=4x,

3x2﹣4x﹣2=0,

因为b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40,

所以9,

所以10,11,

（4）（y+2）2=1+2y,

整理得:y2+2y+3=0,

∵b2﹣4ac=22﹣4×1×3=﹣8＜0,

∴此方程无解.

16、

已知关于x的一元二次方程1.（其中m为实数）

（1）若此方程的一个非零实数根为k，

① 当k = m时，求m的值；

② 若记2为y，求y与m的关系式；

（2）当3＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由

【考点】
【答案】

（1）

①1

②1

（2）当2＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根

【解析】

解：（1）∵k为1的实数根，

∴2.※…………………………………………1分

① 当k = m时，

∵ k为非零实数根，

∴m ≠ 0，方程※两边都除以m，得3.

整理，得4.

解得5， 6. ………………………………………………………2分

∵7是关于x的一元二次方程，

∴ m ≠ 2.

∴ m=" 1." ……………………………………………………………………3分

（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）

② ∵ k为原方程的非零实数根，

∴ 将方程※两边都除以k，得8.…………………4分

整理，得9.

∴10.……………………………………………5分

（2）解法一： 11.………6分

当12＜m＜2时，m＞0， 13＜0.

∴14＞0， 15＞1＞0，Δ＞0.

∴ 当16＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分

解法二：直接分析17＜m＜2时，函数18的图象，

∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，

∴ 该抛物线必与x轴有两个不同交点. …………………………6分

∴ 当19＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分

解法三： 20.…………6分

结合21关于m的图象可知，（如图6）

22

当23＜m≤1时， 24＜25≤4；

当1＜m＜2时，1＜26＜4.

∴ 当27＜m＜2时， 28＞0.

∴ 当29＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.…7分