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初三数学第一学期.因式分解法解一元二次方程同步练习
初中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
85 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共8题，共40分）
1、 三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14 2、 使分式 A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6 3、 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 6或9 D. 以上都不正确 4、 一元二次方程2x（x－3）＝5（x－3）的根为 （ ） A．x＝ B．x＝3 C．x1＝3，x2＝－ D．x1＝3，x2＝ 5、 已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（ ） A. 方程一定有两个不相等的实数根 B. 方程一定有两个实数根 C. 当k取某些值时，方程没有实数根 D. 方程一定有实数根 6、 已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（ ） A. 1 B. ﹣3 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3 7、 若分式 A. 3或﹣2 B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3或2 8、 解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是 （ ） A．直接开平方法． B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
二、填空题（共4题，共20分）
9、 对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=_____． 10、 关于 11、 如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是_____． 12、 方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为_____．
三、解答题（共5题，共25分）
13、 现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab （1）求4※7的值； （2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值； （3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值． 14、 阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0． 解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0． 设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0． 解得 y1=2，y2=﹣1． 当y=2时，|x|=2，∴x=±2； 当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解． ∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2． 在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： （1）x2﹣2|x|=0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0． 15、 解下列方程： （1）9（y+4）2﹣49=0 （2）2x2+3=7x（配方法）； （3）2x2﹣7x+5=0 （公式法） （4）x2=6x+16 （5）2x2﹣7x﹣18=0 （6）（2x﹣1）（x+3）=4． 16、 用适当的方法解下列方程： （1） x2﹣5x﹣6=0； （2）（1﹣x）2﹣1= （3） 8x（x+2）=3x+6； （4）（y+ 17、 解方程： ①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）； ②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）； ③（x+3）（x﹣1）=5； ④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2． |
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初三数学第一学期.因式分解法解一元二次方程同步练习
1、
三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14
A
解方程：
得：
，
（1）当第三边长为5时，∵3+4>5，∴此时能围成三角形，三角形的周长为：3+4+5=12；
（2）当第三边长为7时，∵3+4=7，∴此时不能围成三角形；
故选A.
2、
使分式
的值等于零的x是( )
A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6
A
试题分析：分式的值为0的条件：分式的分子为0且分母不为0时，分式的值为0.
由题意得
，解得
，则
故选A.
3、
如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A. 6 B. 9 C. 6或9 D. 以上都不正确
B
解方程
得：
，
（1）若等腰三角形的腰长为1，底边为4，∵1+1<4，∴此时围不成三角形，此种情况不成立；
（2）若等腰三角形的腰长为4，底边为1，∵1+4>4，∴此时能围成三角形，三角形的周长为9；
故选B.
4、
一元二次方程2x（x－3）＝5（x－3）的根为 （ ）
A．x＝
B．x＝3
C．x1＝3，x2＝－
D．x1＝3，x2＝
D
试题分析：2x（x－3）＝5（x－3），2x（x－3）-5（x－3）=0，,（x－3）（2x－5）=0，所以x－3=0，或2x－5=0，所以x1＝3，x2＝
，故选：D．
5、
已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（ ）
A. 方程一定有两个不相等的实数根 B. 方程一定有两个实数根
C. 当k取某些值时，方程没有实数根 D. 方程一定有实数根
D
原方程可化为：
，
（1）当
时，原方程可化为：
，此时原方程是一元一次方程，有实数根；
（2）当
时，原方程是一元二次方程，此时：
△=
，
∴此时，原方程有两个实数根；
综上所述，无论k为何值，原方程都有实数根.
故选D.
6、
已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（ ）
A. 1 B. ﹣3 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3
A
设
，则原式可化为：
，解得：
，
∵
，
∴
.
故选A.
7、
若分式
的值为0，则x的值为（ ）
A. 3或﹣2 B. 3 C. ﹣2 D. ﹣3或2
A
由题意可得：
，解得：
，
∵当
时，
，
当
时，
，
∴
的值为3或-2.
故选A.
8、
解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是 （ ）
A．直接开平方法． B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
D．
试题分析：方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，
即5（2x-1）（5x-1）=0，
根据分析可知分解因式法最为合适．
故选D．
9、
对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=_____．
4
设
，则原方程可化为：
，解得：
，
∵
，
∴
.
10、
关于
的一元二次方程
的解为_____．
x1=4，x2=﹣1
∵方程
是关于
的一元二次方程，
∴
，解得：
，
∴原方程为：
，化简得：
，解得：
.
∴原方程的解为：
.
11、
如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是_____．
3
设
，则原方程可化为：
，解得：
，
∵
，
∴
.
12、
方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为_____．
1或
原方程可化为为：
，
∴
或
，
∴
或
.
13、
现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab
（1）求4※7的值；
（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；
（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
（1）112（2）x1=2，x2=﹣4（3）a=
试题分析：
（1）按照“新运算：※”的运算规则，把题目中的“新运算”转化为普通运算，再按有理数的相关运算法则计算即可；
（2）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化普通运算，就可将涉及“新运算”的方程转化为“一元二次方程”，然后再解方程即可；
（3）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化为普通运算，得到普通的含有“字母”系数的方程，再根据题意解答即可.
试题解析：
（1）4※7=4×4×7=112；
（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，
解得x1=2，x2=﹣4；
（3）∵由新运算的定义得4ax=x，
∴（4a﹣1）x=0，
∵不论x取和值，等式恒成立，
∴4a﹣1=0，
即
．
14、
阅读下面的例题与解答过程：
例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．
解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．
设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．
解得 y1=2，y2=﹣1．
当y=2时，|x|=2，∴x=±2；
当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．
∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．
在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：
（1）x2﹣2|x|=0；
（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．
（1）x1=0，x2=﹣2，x3=2（2）x1=﹣1，x2=3
试题分析：
（1）把原方程化为：|x|2﹣2|x|=0，再按照“范例”中的方法解答即可；
（2）把原方程化为：|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0，再按照“范例”中的方法解答即可.
试题解析：
（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，
设|x|=y，则y2﹣2y=0．
解得y1=0，y2=2．
当y=0时，|x|=0，∴x=0；
当y=2时，∴x=±2；
∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．
（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．
设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得y1=y2=2．
即|x﹣1|=2，
∴x=﹣1或x=3．
∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．
15、
解下列方程：
（1）9（y+4）2﹣49=0
（2）2x2+3=7x（配方法）；
（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）
（4）x2=6x+16
（5）2x2﹣7x﹣18=0
（6）（2x﹣1）（x+3）=4．
（1）y1=﹣
，y2=﹣
；（2）x1=3，x2=
；（3）x1=2.5，x2=1；（4）x1=﹣2，x2=8（5）x=
；（6）x1=﹣3.5，x2=1．
试题分析：
（1）用“直接开平方法”解此方程即可；
（2）、（3）按指定方法解方程即可；
（4）先将方程化为一般形式，再用“因式分解法”解此方程：
（5）用“公式法”解此方程即可；
（6）先整理为一般形式，再用“因式分解法”解此方程.
试题解析：
（1）方程可化为：（y+4）2=
，
开方得：y+4=±
，
解得：y1=﹣
，y2=﹣
；
（2）方程整理得：x2﹣
x=﹣
，
配方得：x2﹣
x+
=
，即（x﹣
）2=
，
开方得：x﹣
=±
，
解得：x1=3，x2=
；
（3）∵在方程2x2﹣7x+5=0中，a=2，b=﹣7，c=5，
∴△=49﹣40=9，
∴x=
，
解得：x1=2.5，x2=1；
（4）原方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即(x+2)(x﹣8)=0，
解得：x1=﹣2，x2=8；
（5）∵在方程2x2﹣7x﹣18=0
中，a=2，b=﹣7，c=﹣18，
∵△=49+144=193，
∴x=
；
∴
，
.
（6）原方程整理得：2x2+5x﹣7=0，
即(2x+7)(x﹣1)=0，
解得：x1=﹣3.5，x2=1．
16、
用适当的方法解下列方程：
（1） x2﹣5x﹣6=0；
（2）（1﹣x）2﹣1=
；
（3） 8x（x+2）=3x+6；
（4）（y+
）（y-
）=20．
（1）x1=6，x2=﹣1（2）x1=﹣
，x2=
（3）x1=﹣2，x2=
（4）y1=5，y2=﹣5
试题分析：
（1）用“因式分解法”解方程即可；
（2）用“直接开平方法”解方程即可；
（3）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；
（4）先化简，再用“直接开平方法”解方程即可；
试题解析：
（1）x2﹣5x﹣6=0，
原方程可化为：（x﹣6）（x+1）=0，
∴x-6=0或x+1=0，
∴ x1=6，x2=﹣1．
（2）原方程可化为：（1﹣x）2=
+1，
即：（1﹣x）2=
，
∴1﹣x=
，
∴x1=﹣
，x2=
．
（3）原方程可化为：8x（x+2）﹣3（x+2）=0，
∴(x+2)(8x﹣3)=0，
∴x+2=0或8x-3=0
解得：x1=﹣2，x2=
．
（4）原方程可化为：y2﹣5=20，
∴y2=25，
∴y=±5，即： y1=5，y2=﹣5．
17、
解方程：
①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；
②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；
③（x+3）（x﹣1）=5；
④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．
①x1=1+
，x2=1﹣
②x1=1，x2=﹣
③x1=﹣4，x2=2④y1=1，y2=﹣1
试题分析：
（1）、（2）按题中指定方法解答即可；
（3）先将方程整理为一般形式，再用“因式分解法”解方程即可；
（4）根据方程特点用“因式分解法”解方程即可.
试题解析：
①移项得：x2﹣2x=
配方得：x2﹣2x+1=
，即（x﹣1）2=
，
∴x﹣1=±
∴x1=1+
，x2=1﹣
．
② ∵在方程4x2﹣3x﹣1=0中，a=4，b=﹣3，c=﹣1，
∴ △ =9+16=25
x=
，
∴x1=1，x2=﹣
．
③原方程整理得：x2+2x﹣8=0，
(x+4)(x﹣2)=0，
∴ x1=﹣4，x2=2．
④原方程可化为：(3y﹣2+2y﹣3)(3y﹣2﹣2y+3)=0，
(5y﹣5)(y+1)=0，
∴ y1=1，y2=﹣1．