北京市平谷区月初三统一练习(一)数学试卷(解析版)
初中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
95 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共6题,共30分)
1、 1-7月份,某种蔬菜每斤的进价与每斤的售价的信息如图所示,则出售该种蔬菜每斤利润最大的月份是( ) A. 3月份 B. 4月份 C. 5月份 D. 6月份 2、 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3、 把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上,以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A,则点A对应的数是( ) A. 1 B. C. D. 2 4、 某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( ) A. m B. 8 m C. m D. 4 m 5、 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题:“今有凫(凫:野鸭)起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”意思是:野鸭从南海起飞,7天飞到北海;大雁从北海起飞,9天飞到南海.野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过几天相遇.设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过天相遇,根据题意,下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 6、 右图是某几何体从不同角度看到的图形,这个几何体是( ) A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正三棱柱 D. 三棱锥
二、填空题(共6题,共30分)
7、 如果分式的值为0,那么x的值是__________. 8、 一个猜想是否正确,科学家们要经过反复的论证.下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据: 请根据以上数据,估计硬币出现“正面朝上”的概率为____________(精确到0.01) 9、 如图,一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形,请根据图形,写出一个含有a,b的正确的等式__________________. 10、 请写出一个在各自象限内,y的值随x值的增大而增大的反比例函数表达式_____. 11、 小米是一个爱动脑筋的孩子,他用如下方法作∠AOB的角平分线:作法:如图, (1)在射线OA上任取一点C,过点C作CD∥OB; (2)以点C为圆心,CO的长为半径作弧,交CD于点E; (3)作射线OE. 所以射线OE就是∠AOB的角平分线. 请回答:小米的作图依据是_______________________ 12、 如图,圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形).已知灯泡距离地面2.4m,桌面距离地面0.8m(桌面厚度不计算),若桌面的面积是1.2m²,则地面上的阴影面积是__________m².
三、解答题(共7题,共35分)
13、 如图,⊙O为等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,AD是⊙O的直径,切线DE与AC的延长线相交于点E. (1)求证:DE∥BC; (2)若DF=n,∠BAC=2α,写出求CE长的思路. 14、 计算:. 15、 在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是BC边的中点,作射线DE,与边AB交于点E,射线DE绕点D顺时针旋转120°,与直线AC交于点F. (1)依题意将图1补全; (2)小华通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有DE=DF.小华把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法1:由点D是BC边的中点,通过构造一边的平行线,利用全等三角形,可证DE=DF; 想法2:利用等边三角形的对称性,作点E关于线段AD的对称点P,由∠BAC与∠EDF互补,可得∠AED与∠AFD互补,由等角对等边,可证DE=DF; 想法3:由等腰三角形三线合一,可得AD是∠BAC的角平分线,由角平分线定理,构造点D到AB,AC的高,利用全等三角形,可证DE=DF……. 请你参考上面的想法,帮助小华证明DE=DF(选一种方法即可); (3)在点E运动的过程中,直接写出BE,CF,AB之间的数量关系. 16、 已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)当m=2时,求方程的两个根. 17、 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,EF垂直平分BD,分别交AB,BC,BD于E,F,G,连接DE,DF. (1)求证:DE=DF; (2)若∠ABC=30°,∠C=45°,DE=4,求CF的长. 18、 有这样一个问题:探究函数的图象与性质. 小军根据学习函数的经验, 对函数的图象与性质进行了探究. 下面是小军的探究过程, 请补充完整: (1)函数的自变量x的取值范围是______; (2)下表是y与x的几组对应值: 在平面直角坐标系xOy中, 描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点, 画出该函数的图象; (3)观察图象,函数的最小值是___________; (4)进一步探究,结合函数的图象, 写出该函数的一条性质(函数最小值除外):______. 19、 直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,点A关于直线的对称点为点C. (1)求点C的坐标; (2)若抛物线经过A,B,C三点,求该抛物线的表达式; (3)若抛物线 经过A,B两点,且顶点在第二象限,抛物线与线段AC有两个公共点,求a的取值范围. |
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北京市平谷区月初三统一练习(一)数学试卷(解析版)
1、
1-7月份,某种蔬菜每斤的进价与每斤的售价的信息如图所示,则出售该种蔬菜每斤利润最大的月份是( )
A. 3月份 B. 4月份 C. 5月份 D. 6月份
A
分析:本题考查的是函数图象.
解析:根据函数图像可以得出每个月的利润,一月:0.5元/斤,二月:2元/斤,三月:2.5元/斤,四月:2元/斤,五月:1.5元/斤,六月:1元/斤,七月:0.5元/斤.
故选A.
2、
下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
D
分析:本题考查的是轴对称图形和中心对称图形的定义.
解析:A选项是轴对称图形但不是中心对称图形;B选项是轴对称图形但不是中心对称图形;C选项不是轴对称图形但是中心对称图形;D选项既是轴对称图形又是中心对称图形;
故选D.
3、
把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上,以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A,则点A对应的数是( )
A. 1 B. C. D. 2
B
分析:本题考查的是用数轴表示无理数.
解析:由图知,圆弧的半径为,故OA的长为.
故选B.
4、
某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. m B. 8 m C. m D. 4 m
D
分析:本题考查的是直角三角形的性质:30度所对的直角边等于斜边的一半..
解析:过点C作CE⊥AB,垂足为E,∵∠ABC=150°,∴∠BCE=30°,∵BC=8m,∴CE=4m,
故选D.
5、
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题:“今有凫(凫:野鸭)起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”意思是:野鸭从南海起飞,7天飞到北海;大雁从北海起飞,9天飞到南海.野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过几天相遇.设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过天相遇,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
C
分析:本题考查的是一元一次方程的行程问题中的相遇问题.
解析:设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过天相遇,根据题意得,.
故选C.
6、
右图是某几何体从不同角度看到的图形,这个几何体是( )
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正三棱柱 D. 三棱锥
A
分析:本题考查的是通过三视图确定几何体.
解析:根据三视图可知此几何体为圆锥.
故选A.
7、
如果分式的值为0,那么x的值是__________.
3
分析:本题考查的是分式的值为0,分子为0.分母不为0,即可.
解析:根据分式的值为0,所以
故答案为3
8、
一个猜想是否正确,科学家们要经过反复的论证.下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据:
请根据以上数据,估计硬币出现“正面朝上”的概率为____________(精确到0.01)
0.50
分析:本题考查的是利用频率估计概率.
解析:根据频率估计概率可以得出正面朝上的概率约为0.50.
故答案为0.50.
9、
如图,一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形,请根据图形,写出一个含有a,b的正确的等式__________________.
分析:本题考查的是利用几何图形表示完全平方公式.
解析:整个图形的面积为,而可以四个图形的面积为,∴.
故答案为.
10、
请写出一个在各自象限内,y的值随x值的增大而增大的反比例函数表达式_____.
答案不唯一,如
分析:本题考查的是反比例函数的性质解决即可.
解析:∵反比例函数在各自象限内,y的值随x值的增大而增大,∴反比例函数的比例系数k<0,∴只要取一个小于零的数即可.
故答案为答案不唯一,如.
11、
小米是一个爱动脑筋的孩子,他用如下方法作∠AOB的角平分线:作法:如图,
(1)在射线OA上任取一点C,过点C作CD∥OB;
(2)以点C为圆心,CO的长为半径作弧,交CD于点E;
(3)作射线OE.
所以射线OE就是∠AOB的角平分线.
请回答:小米的作图依据是_______________________
两直线平行,内错角相等;等腰三角形两底角相等;
分析:本题考查的是平行线的性质和等腰三角形的性质得出的结论.
解析:∵CD∥OB,∴∠CEO =∠EOB,∵OC=CE,∴∠COE=∠CEO,∴∠COE=∠EOB,∴OE平分∠AOB.
故答案为两直线平行,内错角相等;等腰三角形两底角相等;
12、
如图,圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形).已知灯泡距离地面2.4m,桌面距离地面0.8m(桌面厚度不计算),若桌面的面积是1.2m²,则地面上的阴影面积是__________m².
2.7
分析:本题考查的是相似三角形的性质和判定.
解析:本题的主试图为下图,根据题意得,因为DE∥BC,∴AG=2.4m,FG=0.8m,∴AF=1.6m,所以圆桌的面积与它的阴影的面积比为4:9,∵桌面的面积是1.2m²,∴地面上的阴影面积是2.7 m².
故答案为2.7 m².
定睛:本题的关键是把圆桌的和他的阴影面积的比转化为它的主视图的相似比,这个关键问题解决了,就可以根据相似三角形的性质得出结论.
13、
如图,⊙O为等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,AD是⊙O的直径,切线DE与AC的延长线相交于点E.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若DF=n,∠BAC=2α,写出求CE长的思路.
(1)证明见解析;
(2)见解析.
试题分析:(1)利用等腰三角形和直径的性质得出垂直关系,加上切线的定义得出平行;(2)连结CD,根据已知条件和三角函数求出CD的值,利用△CDF∽△DEC,得出CE的长即可.
试题解析:(1)证明:∵AB=AC,AD是⊙O的直径,
∴AD⊥BC于F.
∵DE是⊙O的切线,
∴DE⊥AD于D.
∴DE∥BC.
(2)连结CD.
由AB=AC,∠BAC=2α,可知∠BAD=α.由同弧所对的圆周角,可知∠BCD=∠BAD=α.
由AD⊥BC,∠BCD =α,DF=n,
根据sinα=,可知CD的长.
由勾股定理,可知CF的长
由DE∥BC,可知∠CDE=∠BCD.
由AD是⊙O的直径,可知∠ACD=90°.
由∠CDE=∠BCD,∠ECD=∠CFD,
可知△CDF∽△DEC,可知,可求CE的长.
14、
计算:.
﹣2.5
试题分析:本题根据绝对值的定义,二次根式的化简,三角函数值,零次幂.
试题解析:
=
=﹣2.5
15、
在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是BC边的中点,作射线DE,与边AB交于点E,射线DE绕点D顺时针旋转120°,与直线AC交于点F.
(1)依题意将图1补全;
(2)小华通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有DE=DF.小华把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:由点D是BC边的中点,通过构造一边的平行线,利用全等三角形,可证DE=DF;
想法2:利用等边三角形的对称性,作点E关于线段AD的对称点P,由∠BAC与∠EDF互补,可得∠AED与∠AFD互补,由等角对等边,可证DE=DF;
想法3:由等腰三角形三线合一,可得AD是∠BAC的角平分线,由角平分线定理,构造点D到AB,AC的高,利用全等三角形,可证DE=DF…….
请你参考上面的想法,帮助小华证明DE=DF(选一种方法即可);
(3)在点E运动的过程中,直接写出BE,CF,AB之间的数量关系.
(1)将图1补全见解析;
(2)证明见解析;
(3)数量关系:当点F在AC边上时,;
当点F在AC延长线上时,.
试题分析:(1)根据要求画出图形即可;(2)选择一种自己比较熟练的方法进行证明即可;(3)本题分点F在AC边上,点F在AC延长线上,两种情况分析即可.
试题解析:解:(1)如图1,
(2)
想法1证明:如图2,过D作DG∥AB,交AC于G,
∵点D是BC边的中点,
∴DG=AB.
∴△CDG是等边三角形.
∴∠EDB+∠EDG=120°.
∵∠FDG+∠EDG=120°,
∴∠EDB =∠FDG.
∵BD=DG,∠B=∠FGD=60°,
∴△BDE≌△GDF.
∴DE=DF.
想法2证明:如图3,连接AD,
∵点D是BC边的中点,
∴AD是△ABC的对称轴.
作点E关于线段AD的对称点P,点P在边AC上,
∴△ADE≌△ADP.
∴DE=DP,∠AED=∠APD.
∵∠BAC+∠EDF=180°,
∴∠AED+∠AFD=180°.
∵∠APD+∠DPF=180°,
∴∠AFD=∠DPF.
∴DP=DF.
∴DE=DF.
想法3证明:如图4,连接AD,过D作DM⊥AB于M,DN⊥AB于N,
∵点D是BC边的中点,
∴AD平分∠BAC.
∵DM⊥AB于M,DN⊥AB于N,
∴DM=DN.
∵∠A=60°,
∴∠MDE+∠EDN=120°.
∵∠FDN+∠EDN=120°,
∴∠MDE=∠FDN.
∴Rt△MDE≌Rt△NDF.
∴DE=DF.
(3)当点F在AC边上时,;
当点F在AC延长线上时,.
16、
已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)当m=2时,求方程的两个根.
(1)证明见解析;
(2)x1=x2=2
试题分析:(1)根据一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的情况得出即可;(2)把m=2代入方程解之即可.
试题解析:
(1)证明: ∵ Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2
∵ (m-2)2≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)当m=2时,原方程变为x2-4x+4=0.
解得x1=x2=2.
17、
如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,EF垂直平分BD,分别交AB,BC,BD于E,F,G,连接DE,DF.
(1)求证:DE=DF;
(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,DE=4,求CF的长.
(1)证明见解析;
(2)CF的长为2+
试题分析:(1)本题利用垂直平分线的性质,角平分线的性质得出结论,证明四边形BFDE为菱形即可;(2)本题要根据菱形得出三角形DFC的角的度数,作垂直构造特殊的三角形解决问题即可.
试题解析:(1)证明:∵EF垂直平分BD,
∴EB=ED,FB=FD.
∵BD平分∠ABC交AC于D,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABD+∠BEG=90°,∠CBD+∠BFG=90°,
∴∠BEG=∠BFG.
∴BE=BF.
∴四边形BFDE是菱形.
∴DE=DF.
(2)解:过D作DH⊥CF于H.
∵四边形BFDE是菱形,
∴DF∥AB,DE=DF=4.
在Rt△DFH中,∠DFC=∠ABC=30°,
∴DH=2.
∴FH=.
在Rt△CDH中,∠C=45°,
∴DH=HC=2.
∴CF=2+.
18、
有这样一个问题:探究函数的图象与性质.
小军根据学习函数的经验, 对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小军的探究过程, 请补充完整:
(1)函数的自变量x的取值范围是______;
(2)下表是y与x的几组对应值:
在平面直角坐标系xOy中, 描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点, 画出该函数的图象;
(3)观察图象,函数的最小值是___________;
(4)进一步探究,结合函数的图象, 写出该函数的一条性质(函数最小值除外):______.
(1);
(2)该函数的图象如图所示;
(3);
(4)该函数的其它性质:当时,y随x的增大而减小.
试题分析:(1)根据二次根式有意义的条件得出自变量的取值范围即可;(2)通过描点,用平滑的曲线连接个点,画出图形即可;(3)根据图像可以看到当x=0时,函数取的最小值;(4)根据函数图像可以发现函数的性质,可以找出一条即可.
试题解析:(1);
(2)该函数的图象如图所示;
(3);
(4)该函数的其它性质:当时,y随x的增大而减小;
(答案不唯一,符合函数性质即可写出一条即可)
19、
直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,点A关于直线的对称点为点C.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线经过A,B,C三点,求该抛物线的表达式;
(3)若抛物线 经过A,B两点,且顶点在第二象限,抛物线与线段AC有两个公共点,求a的取值范围.
(1)点C的坐标(﹣3,0);
(2)抛物线的表达式为;
(3)a的取值范围是
试题分析:(1)把y=0,代入函数解析式,求出点A的坐标,根据对称得出C点的坐标即可;(2)先求出B点坐标,再把点A、B三点的坐标分别代入,解得m、n的值即可;(3)根据题意抛物线开口向下,所以当图像经过A点的关于原点对称的点时a取最大值,当经过点C时开口最大,a的值最小.
试题解析:解:(1)令y=0,得x=1.
∴点A的坐标为(1,0).
∵点A关于直线x=﹣1对称点为点C,
∴点C的坐标为(﹣3,0).
(2)令x=0,得y=3.
∴点B的坐标为(0,3).
∵抛物线经过点B,
∴﹣3m=3,解得m=﹣1.
∵抛物线经过点A,
∴m+n﹣3m=0,解得n=﹣2.
∴抛物线表达式为.
(3)由题意可知,a<0.
根据抛物线的对称性,当抛物线经过(﹣1,0)时,开口最小,a=﹣3,
此时抛物线顶点在y轴上,不符合题意.
当抛物线经过(﹣3,0)时,开口最大,a=﹣1.
结合函数图像可知,a的取值范围为.