1、
已知函数,(,为自然对数的底数).
(1)试讨论函数的极值情况;
(2)证明:当且时,总有.
【考点】
【答案】
(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
试题分析:(1)求定义域内的所有根;判断的根左右两侧值的符号即可得结果;(2)当时, ,研究函数的单调性,两次求导,可证明在内为单调递增函数,进而可得当时,,即可得结果.
试题解析:(1)的定义域为,
.
①当时,,故在内单调递减,无极值;
②当时,令,得;令,得.
故在处取得极大值,且极大值为,无极小值.
(2)证法一:当时, .
设函数 ,
则.记,
则.
当变化时,,的变化情况如下表:
由上表可知,
而 ,
由,知,
所以,
所以,即.
所以在内为单调递增函数.
所以当时,.
即当且时, .
所以当且时,总有.
证法二:当时, .
因为且,故只需证.
当时,成立;
当时,,即证.
令,则由,得.
在内,;
在内,,
所以.
故当时,成立.
综上得原不等式成立.
题型:解答题
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难度:较难
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