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1、

在平面直角坐标系中,抛物线12轴交于A、B(A点在B点的左侧)与3轴交于点C.

(1)如图1,连接AC、BC,若△ABC的面积为3时,求抛物线的解析式;

(2)如图2,点P为第四象限抛物线上一点,连接PC,若4时,求点P的横坐标;

(3)如图3,在(2)的条件下,点F在AP上,过点P作PH⊥5轴于H点,点K在PH的延长线上,AK=KF,∠KAH=∠FKH,PF=6,连接KB并延长交抛物线于点Q,求PQ的长.

7

更新时间:2024-03-29 07:01:31
【考点】
【答案】

(1)解析式为1;(2)点P 的横坐标为6 ;

(3) QP=7

【解析】

试题分析:(1)通过解方程ax2-5ax+4a=0可得到A(1,0),B(4,0),然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标,再把C点坐标代入y=ax2-5ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式;

(2)过点P作PH⊥x轴于H,作CD⊥PH于点H,如图2,设P(x,ax2-5ax+4a),则PD=-ax2+5ax,通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO,利用相似比可得到(-ax2+5ax):(-4a)=x:4,然后解方程求出x即可得到点P的横坐标;

(3)过点F作FG⊥PK于点G,如图3,先证明∠HAP=∠KPA得到HA=HP,由于P(6,10a),则可得到-10a=6-1,解得a=-1,再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG=PG=2PF=2,接着证明△AKH≌△KFG,得到KH=FG=2,则K(6,2),然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y=x-4,再通过解方程组3得到Q(-1,-5),利用P、Q点的坐标可判断PQ∥x 轴,于是可得到QP=7.

试题解析:(1)当y=0时,ax2-5ax+4a=0,解得x1=1,x2=4,则A(1,0),B(4,0),

∴AB=3,

∵△ABC的面积为3,

4,解得OC=2,则C(0,-2),

把C(0,-2)代入y=ax2-5ax+4a得4a=-2,解得a=-5

∴抛物线的解析式为y=-6x2+7x-2;

(2)过点P作PH⊥x轴于H,作CD⊥PH于点H,如图2,设P(x,ax2-5ax+4a),则PD=4a-(ax2-5ax+4a)=-ax2+5ax,

8

∵AB∥CD,

∴∠ABC=∠BCD,

∵∠BCP=2∠ABC,

∴∠PCD=∠ABC,

∴Rt△PCD∽Rt△CBO,

∴PD:OC=CD:OB,

即(-ax2+5ax):(-4a)=x:4,解得x1=0,x2=6,

∴点P的横坐标为6;

(3)过点F作FG⊥PK于点G,如图3,

9

∵AK=FK,

∴∠KAF=∠KFA,

而∠KAF=∠KAH+∠PAH,∠KFA=∠PKF+∠KPF,

∵∠KAH=∠FKP,

∴∠HAP=∠KPA,

∴HA=HP,

∴△AHP为等腰直角三角形,

∵P(6,10a),

∴-10a=6-1,解得a=-10

在Rt△PFG中,∵PF=411a=212,∠FPG=45°,

∴FG=PG=13PF=2,

在△AKH和△KFG中

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∴△AKH≌△KFG,

∴KH=FG=2,

∴K(6,2),

设直线KB的解析式为y=mx+n,

把K(6,2),B(4,0)代入得

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解得16

∴直线KB的解析式为y=x-4,

当a=-17时,抛物线的解析式为y=-18x2+19x-2,

解方程组20

解得2122

∴Q(-1,-5),

而P(6,-5),

∴PQ∥x轴,

∴QP=7.

题型:解答题 题类: 难度:较难 组卷次数:0
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