1、
如图1,已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴交于A和B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D
(1)求出点A,B,D的坐标;
(2)如图1,若线段OB在x轴上移动,且点O,B移动后的对应点为O′,B′.首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC,请求出四边形O′B′DC的周长最小值.
(3)如图2,若点M是抛物线上一点,点N在y轴上,连接CM、MN.当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,直接写出点N的坐标.
(1)A(﹣2,0),B(4,0),D(1,﹣);(2)4++;(3)N的坐标为(0,)、(0,)、(0,﹣)或(0,﹣).
试题分析:(1)令抛物线解析式中y=0,解关于x的一元二次方程即可求出点A、B的坐标,再利用配方法将抛物线解析式进行配方即可得出顶点D的坐标;(2)作点C(0,﹣3)关于x轴的对称点C′(0,3),将点C′(0,3)向右平移4个单位得到点C″(4,3),连接DC″,交x轴于点B′,将点B′向左平移4个单位得到点O′,连接CO′,CO″,则四边形O′B′C′C″为平行四边形,此时四边形O′B′DC周长取最小值.再根据两点间的距离公式求出CD、DC″的长度,即可得出结论;(3)按点M的位置不同分两种情况考虑:①点M在直线y=x﹣3上,联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标,结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标;②点M在直线y=﹣x﹣3上,联立直线与抛物线解析式求出点M的坐标,结合点C的坐标以及等腰直角三角形的性质即可得出点N的坐标.综合两种情况即可得出结论.
试题解析:(1)令y=x2﹣x﹣3中y=0,则x2﹣x﹣3=0,解得:x1=﹣2,x2=4,∴A(﹣2,0),B(4,0).∵y=x2﹣x﹣3=(x2﹣2x)﹣3=(x﹣1)2﹣,∴D(1,﹣).(2)令y=x2﹣x﹣3中x=0,则y=﹣3,∴C(0,﹣3).D(1,﹣),O′B′=OB=4.如图1,
作点C(0,﹣3)关于x轴的对称点C′(0,3),将点C′(0,3)向右平移4个单位得到点C″(4,3),连接DC″,交x轴于点B′,将点B′向左平移4个单位得到点O′,连接CO′,C′O′,则四边形O′B′C′C″为平行四边形,此时四边形O′B′DC周长取最小值.此时C四边形O′B′DC=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+O′B′+DC″.∵O′B′=4,CD==,C″D==,∴四边形O′B′DC的周长最小值为4++.(3)△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形分两种情况(如图2):
,①过点C作直线y=x﹣3交抛物线于点M,联立直线CM和抛物线的解析式得:,解得:或(舍去),∴M(,).∵△CMN为等腰直角三角形,C(0,﹣3),∴点N的坐标为(0,)或(0,);②过点C作直线y=﹣x﹣3交抛物线于点M,联立直线CM和抛物线的解析式得:,解得:或(舍去),∴M(﹣,﹣).∵△CMN为等腰直角三角形,C(0,﹣3),∴点N的坐标为(0,﹣)或(0,﹣).综上可知:当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,点N的坐标为(0,)、(0,)、(0,﹣)或(0,﹣).
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