1、
如图,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,动点E从点A出发.以2cm/s的速度沿射线AD方向运动,以AE为底边,在AD的右侧作等腰直角角形AEF,当点F落在射线BC上时,点E停止运动,设△AEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S,运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时,点F落在射线BC上;
(2)当线段CD将△AEF的面积二等分时,求t的值;
(3)求S与t的函数关系式;
(4)当S=17时,求t的值.
(1)8(2)6(3)S=(4)5
试题分析:(1)由矩形的性质和等腰直角三角形的性质得出FH=8cm,再由运动得出FH=t,即可;
(2)由等腰直角三角形的性质得出斜边上的高也是中线,根据三角形的中线把三角形AEF面积平分,判断出点F在CD上,即可;
(3)分三种情况先利用矩形和运动的特点显示出三角形高,底边和梯形的上下底,高,再利用三角形和梯形的面积公式求解;
(4)先判断出面积是17时,运动时间在3<t≤6内,再直接代入函数关系式中,即可.
试题解析:(1)如图1,
过点F作FH⊥AD于H,
在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,∠BAD=90°,
∵点F落在射线BC上,
∴FH=8cm,
∴t=8s,
(2)如图2,
∵△AEF是等腰直角三角形,
∴AE边上的高线也是该边的中线,
∴点F在边CD上时,CD将△AEF的面积二等分,
∵FD是直角三角形的斜边的直线,
∴由运动知,FD=AD=6=t,
∴t=6s,
(3)当0<t≤3时,如图3,
过点F作FH⊥AD,
由运动知,AE=2t,
∴FH=AE=t,
∴S=AE×FH=t2,
当3<t≤6时,如图4,
过点F作FH⊥AD,
由运动知,AE=2t,
∴DG=DE=2t﹣6,FH=t,DH=6﹣t,
∴S=S△AEF+S梯形DHFG=×AE×FH+(DG+FH)×DH=××2t×t+(2t﹣6+t)×(6﹣t)=﹣t2+12t﹣18,
当6<t≤8时,如图5,
过点F作FH⊥AD,
∴DG=AD=6
∴S=S△ADG=AD×GD=18;
∴S=,
(4)由函数关系式知,S=17的运动时间在3<t≤6中,
将S=17代入S=﹣t2+12t﹣18中,
∴﹣t2+12t﹣18=17,
∴t=7(舍)或t=5
∴当S=17时,t的值为5s.
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