1、
若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为N的“至善数”,如34的“至善数”为354;若将一个两位正整数M加5后得到一个新数,我们称这个新数为M的“明德数”,如34的“明德数”为39.
(1)26的“至善数”是_______,“明德数”是_______.
(2)求证:对任意一个两位正整数A,其“至善数”与“明德数”之差能被45整除;
(3)若一个两位正整数B的“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半,求B的值.
(1)256,31;(2)见解析;(3)49,58,67,76或85.
(1)按照定义求解即可;
(2)设A的十位数字是a,个位数字是b,表示出至善数和明德数,作差可证明;
(3)分明德数各位数字与5的和大于10和小于10两种可能来考虑,根据“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半列式求解.
解:(1)26的至善数是中间加5,故为256,明德数是加5,故为31,
故答案为:256,31;
(2)设A的十位数字是a,个位数字是b,则它的至善数是100a+50+b,明德数是10a+b+5,
∵100a+50+b﹣(10a+b+5)
=90a+45
=45(2a+1)
∴“至善数”与“明德数”之差能被45整除;
(3)设B的十位数字是a,个位数字是b,则它的至善数位数字之和是a+5+b,明德数位数字之和是a+b+5或a+1+(5+b﹣10)=a+b﹣4,
当a+5+b=2(a+b+5)时,b<5,
a+b=﹣5,
不符合题意;
当a+5+b=2(a+b﹣4)时,b≥5,
a+b=13,
所以a=4,b=9或a=5,b=8或a=6,b=7,或a=7,b=6或a=8,b=5,
∴B是49,58,67,76或85.
故答案为:(1)256,31;(2)见解析;(3)49,58,67,76或85.
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