1、
已知,如图1:抛物线交轴于、两点,交轴于点,对称轴为直线,且过点.
(1)求出抛物线的解析式及点坐标,
(2)点,,作直线交抛物线于另一点,点是直线下方抛物线上的点,连接、,求的面积的最大值,并求出此时点的坐标;
(3)点、是抛物线对称轴上的两点,且已知(,),(,),当为何值时,四边形周长最小?并求出四边形周长的最小值,请说明理由.
【考点】
【答案】
(1);(2) , ;(3),周长最小值是,理由见解析
【解析】
试题分析:(1)根据函数图象过点和对称轴方程列出方程组求解即可;
(2)求出点B的坐标,再求出直线BD的解析式,与抛物线联立方程组即可求出点E坐标,根据三角形面积的计算公式得出表示三角形面积的二次函数,求出最大值即可;
(3)在四边形ANME中,MN,AE是定值,四边形周长最小,即AN+ME最小.利用轴对称即可求解.
试题解析:(1)由题可得:
(2)当y=0时,
∴
∴A(3,0),B(-1,0)
∵D(0,1)
∴直线BD:y=x+1
∴解方程得:
∴E(5,6)
过点F作FG⊥x轴交直线BE于点G
设F(m,),-1<m<5,G(m,m+1)
∴GF=
∴SΔDEF=
∵<0
∴i当m=2时,ΔDEF的面积有最大值,最大值是
∴F(2,)
(3)∵A(3,0),E(5,6)
∴AE=
∵M(1,a+2),N(1,a)
∴MN=2
∴当ME+AN的值最小时,四边形AEMN的周长最小,
∵点和点B关于直线x=1对称,将点向下平移2个单位长度得到点,
连结BE´交直线x=1于点N,再将点N向上平移2个单位长度得到点M,连结AN、ME、AE.
题型:解答题
题类:
难度:较难
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