1、
设函数为的导函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,证明;
(Ⅲ)设为函数在区间内的零点,其中,证明.
2、
为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,,,其中,,.假设,.
(i)证明:为等比数列;
(ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性.
3、
已知等差数列的公差,数列满足,集合.
(1)若,求集合;
(2)若,求使得集合恰好有两个元素;
(3)若集合恰好有三个元素:,是不超过7的正整数,求的所有可能的值.
4、
已知椭圆的左顶点为,两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形,过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M,N不同的两点.
(Ⅰ)求椭圆P的方程;
(Ⅱ)当AM与MN垂直时,求AM的长;
(Ⅲ)若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q,求证:直线NQ恒过定点.
5、
设函数(,e为自然对数的底数).定义在R上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6、
设,动圆C经过点,且被y轴截得的弦长为2p,记动圆圆心C的轨迹为E.
Ⅰ求轨迹E的方程;
Ⅱ求证:在轨迹E上存在点A,B,使得为坐标原点是以A为直角顶点的等腰直角三角形.
7、
已知函数.
判断在定义域上的单调性;
若在上的最小值为2,求a的值.
8、
设、为抛物线上的两点,与的中点的纵坐标为4,直线的斜率为.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点,、为抛物线(除原点外)上的不同两点,直线、的斜率分别为,,且满足,记抛物线在、处的切线交于点,若点、的中点的纵坐标为8,求点的坐标.
9、
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b2>3a;
(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.
10、
若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.设函数,,a,b,kR.
(1)若为在x=1处的切线.①当有两个极值点,,且满足·=1时,求b的值及a的取值范围;②当函数与的图象只有一个交点,求a的值;
(2)若对满足“函数与的图象总有三个交点P,Q,R”的任意突数k,都有PQ=QR成立,求a,b,k满足的条件.