1、
已知函数f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-bx, (b为常数)。
(1)函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切,求实数b的值;
(2)若函数h(x)=f(x)+g(x)在定义域上不单调,求实数b的取值范围;
【考点】
【答案】
(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)求出函数的导函数,从而可得 ,点斜式求得切线方程,根据判别式为零求出 的值即可;(2)求出 的导数,若函数在定义域内不单调,可知在上有解,结合二次函数的性质得到关于的不等式组,解出即可.
试题解析:(1)因为,所以,因此,
所以函数的图象在点处的切线方程为,
由得.
由,得.(还可以通过导数来求).
(2)因为h(x)=f(x)+g(x)=lnx+0.5x2-bx(x>0) ,
所以
若函数在定义域内不单调,则
可知在上有解,
因为,设,因为,
则只要解得,
所以的取值范围是.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及二次函数的性质,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在处的导数,即在点出的切线斜率(当曲线在处的切线与轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为);(2)由点斜式求得切线方程.
题型:解答题
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难度:一般
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