1、
已知函数().
(1)若在处取到极值,求的值;
(2)若在上恒成立,求的取值范围;
(3)求证:当时,.
【考点】
【答案】
(1);(2);(3)证明见解析.
【解析】
:
试题分析:(1)根据极值的概念得到,可得到参数值;(2)转化为函数最值问题,研究函数的单调性,分时,时,,三种情况讨论单调性,使得最小值大于等于0即可。(3)由(1)知令,当时,,当时,,给x赋值:2,3,4,5等,最终证得结果。
解析:(1),
∵在处取到极值,
∴,即,∴,
经检验,时,在处取到极小值.
(2),令(),
1°当时,,在上单调递减,又,
∴时,,不满足在上恒成立.
2°当时,二次函数开口向上,对称轴为,过.
①当,即时,在上恒成立,∴,从而在上单调递增,
又,∴时,成立,满足在上恒成立;
②当,即时,存在,使时,,单调递减,时,,单调递增,
∴,又,∴,故不满足题意.
3°当时,二次函数开口向下,对称轴为,在单调递减,,
∴,在上单调递减,又,∴时,,故不满足题意.
综上所述,.
(3)证明:由(1)知令,当时,(当且仅当时取“”),
∴当时,.即当2,3,4,…,,有
.
题型:解答题
题类:
难度:较难
组卷次数:0
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