1、
如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:PA⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【考点】
【答案】
解:(Ⅰ)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD= ,
从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD
(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz,则
A(1,0,0),B(0, ,0),C(﹣1, ,0),P(0,0,1).
=(﹣1, ,0), =(0, ,﹣1), =(﹣1,0,0),
设平面PAB的法向量为 =(x,y,z),则
即 ,
因此可取 =( ,1, )
设平面PBC的法向量为 =(x,y,z),则 ,
即:
可取 =(0,1, ),cos< >= =
故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为:﹣ .
【解析】
(Ⅰ)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD= ,利用勾股定理证明BD⊥AD,根据PD⊥底面ABCD,易证BD⊥PD,根据线面垂直的判定定理和性质定理,可证PA⊥BD;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,P的坐标,求出向量 ,和平面PAB的法向量,平面PBC的法向量,求出这两个向量的夹角的余弦值即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面垂直的性质(垂直于同一个平面的两条直线平行).
题型:解答题
题类:
难度:一般
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