1、
已知函数f(x)= .
(I)讨论函数的单调性,并证明当x>﹣2时,xex+2+x+4>0;
(Ⅱ)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)= (x>﹣2)有最小值,设g(x)最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
【考点】
【答案】
解:(Ⅰ)证明:由 ,
得 ,
故f(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣4,+∞)上单调递增,
当x>﹣2时,由上知f(x)>f(﹣2)=﹣1,
即 ,即xex+2+x+4>0,得证.
(Ⅱ)对 求导,
得 ,x>﹣2.
记 ,x>﹣2.
由(Ⅰ)知,函数φ(x)区间(﹣2,+∞)内单调递增,
又φ(﹣2)=﹣1+a<0,φ(0)=a>0,所以存在唯一正实数x0,使得 .
于是,当x∈(﹣2,x0)时,φ(x)<0,g'(x)<0,
函数g(x)在区间(﹣2,x0)内单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,φ(x)>0,g'(x)>0,
函数g(x)在区间(x0,+∞)内单调递增.
所以g(x)在(﹣2,+∞)内有最小值 ,
由题设即 .
又因为 .所以 .
根据(Ⅰ)知,f(x)在(﹣2,+∞)内单调递增,
,所以﹣2<x0≤0.
令 ,
则 ,函数u(x)在区间(﹣2,0]内单调递增,
所以u(﹣2)<u(x)≤u(0),
即函数h(a)的值域为
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,得到f(x)>f(﹣2),证明结论即可;(Ⅱ)求出g(x)的导数,得到g(x)的最小值,分离a,得到 ,所以﹣2<x0≤0.令 ,根据函数的单调性判断即可.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
题型:解答题
题类:
难度:一般
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