1、
已知函数f(x)=lnx,g(x)= ﹣ (x为实常数).
(1)当a=1时,求函数φ(x)=f(x)﹣g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值;
(2)若方程e2f(x)=g(x)(其中e=2.71828…)在区间[ ]上有解,求实数a的取值范围.
【考点】
【答案】
(1)解:当a=1时,函数φ(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣ + ,
∴φ′(x)= = ;
x∈[4,+∞),∴φ′(x)>0
∴函数φ(x)=f(x)﹣g(x)在x∈[4,+∞)上单调递增
∴x=4时,φ(x)min=2ln2﹣
(2)解:方程e2f(x)=g(x)可化为x2= ﹣ ,∴a= ﹣x3,
设y= ﹣x3,则y′= ﹣3x2,
∵x∈[ ]
∴函数在[ ]上单调递增,在[ ,1]上单调递减
∵x= 时,y= ;x= 时,y= ;x=1时,y= ,
∴y∈[ ]
∴a∈[ ]
【解析】
(1)求导数,求得函数的单调性,即可求函数φ(x)=f(x)﹣g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值;(2)化简方程,分离参数,再构建新函数,确定函数的单调性,求出函数的值域,即可求实数a的取值范围.
题型:解答题
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难度:一般
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