1、
已知函数f(x)=ex+2ax.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为0,求a的值;
(3)若对于任意x≥0,f(x)≥e﹣x恒成立,求a的取值范围.
(1)解:当a≥0时,函数f'(x)=ex+2a>0,f(x)在R上单调递增;
当 a<0 时,f'(x)=ex+2a,
令 ex+2a=0,得x=ln(﹣2a),
所以,当x∈(﹣∞,ln(﹣2a))时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(ln(﹣2a),+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增
(2)解:由(1)可知,当a≥0时,函数f(x)=ex+2ax>0,不符合题意.
当a<0时,f'(x)=ex+2a,
因为,当x∈(﹣∞,ln(﹣2a))时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(ln(﹣2a),+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
①当ln(﹣2a)≤1,即 ≤a<0时,f(x)最小值为f(1)=2a+e.
解2a+e=0,得a=﹣ ,符合题意.
②当ln(﹣2a)>1,即a<﹣ 时,f(x)最小值为f(ln(﹣2a))=﹣2a+2aln(﹣2a).
解﹣2a+2aln(﹣2a)=0,得a=﹣ ,不符合题意.
综上,a=﹣
(3)解:构建新函数g(x)=ex﹣e﹣x+2ax,g'(x)=ex+e﹣x+2a,
①当 2a≥﹣2,即 a≥﹣1时,
因为 ex+e﹣x≥2,所以g'(x)≥0(且a=﹣1时,仅当x=0时,g'(x)=0)
所以g(x)在R上单调递增.
又g(0)=0,所以当a≥﹣1时,对于任意x≥0都有g(x)≥0.
②当a<﹣1时,解ex+e﹣x+2a<0,即(ex)2+2aex+1<0,
得﹣a﹣ <ex< ,
其中0<﹣a﹣ <1,﹣a+ >1
所以ln(﹣a﹣ )<x<ln(﹣a+ ),
且ln(﹣a﹣ )<0,ln(﹣a+ )>0,
所以g(x)在(0,ln(﹣a+ ))上单调递减,
又g(0)=0,所以存在x0∈(0,ln(﹣a+ )),使得g(x0)<0,不符合题意.
综上,a的取值范围为[﹣1,+∞)
本题属于导数综合题,属难题.(1)对a分类讨论,判断f'(x)是否存在零点.若存在零点,根据f'(x)判断f(x)的单调性;(2)根据第1题的分类讨论情况,判断f(x)的最小值点;然后根据f(x)min=0,求出a的值;(3)此题属于导数恒成立问题,通常采购构造新函数来求解.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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